exercice

lucie · 13-03-2010 13:29:36

bonjour,

Je souhaiterais avoir quelque renseignement pour cet exercice.

Montrer que le polynome A= x^3-19x30 est divisible par x-2 dans R[x].

Donner la décomposition de A en produit de facteurs de degré 1 dans R[x].

je pense que pour la premiere quesion il faut diviser le polynôme A par x-2 mais je ne suis pas sur

merci

lucie

freddy · 13-03-2010 15:02:05

Salut,

eh bien oui, faut diviser A par X-2 ...

franklino · 13-03-2010 15:13:13

slt
pourquoi tu n'es pas sur,pourtant la propriete sur la division des polynomes dit biensur sur le controle des moderateurs que tout polynome P(x) est divisible dans R(x) par Q(x) ssi il existe un polynome a(x) de R(x) tel que l'on ait P(x)=a(x)Q(x) ou encore que le reste de la division euclidienne de P(x) par Q(x) est 0.
ainsi je pense que tu sais ce qui te reste a faire.
mais pour ton exo,a savoir montrer que P(x) est divisible par (x-a), je pense qu'ici,il s'agit de montrer que a est une racine de P(x).

lucie · 13-03-2010 16:24:38

c'est bon j'ai fait la division le reste est nul donc c'est divisible

Maintenant il faut décomposé A en facteur de dégré 1
Alors j'ai fait

A=X^3-19x+30
A=X(X^2-19)+30

est ce bon?
merci
ensuite j'aurais besoin d'aide pour l'autre question

franklino · 13-03-2010 16:40:15

aiees
excuse moi.
bien,tu as trouve quel polynome comme quotient? si nous l"appellons Q(x) puisqu'il existe,alors il te restera à le factoriser,chose qui n'est pas tres complique car Q(x) est de degre 2.
ainsi fait tu pourras donc ecrire Q(x) coe produit de facteur premier et par suite ecrire la fonction F(x) coe produit de facteur premier.
plus clair,tu vois que F(x)=(x-2)Q(x) ,alors apres avoir factoriser Q(x) tu obtiendras Q(x)=(x-a)(x-b) ou a et b sont les reels que tu determineras.
et donc tu auras F(x)=(x-2)(x-a)(x-b)

lucie · 13-03-2010 17:01:56

désolé mais je n'est pas du tout compris lol
sur mon exemple qu'est ce que cela donne

yoshi · 13-03-2010 18:59:40

Salut,

franklino a pourtant été clair.
Quand tu divises x^3 - 19x +30 par x - 2, tu obtiens x²+2x-15 ce que franklino désignait par Q(x).
Q(x) est donc factorisable sous la forme du produit de 2 binômes du 1er degré qu'il a désignés par (x -a) et (x - b).
Tu as deux méthodes pour cette factorisation :
1. Effectuer le produit (x - a)(x - b) et identifier les coefficients obtenus avec ceux du polynôme x²+2x-15 et tu auras à résoudre un système de 2 équations à 2 inconnues qui seront a et b.
2. Tu cherches les racines a et b de l'équation x²+2x-15 = 0 via le discriminant.

C'est quand même bizarre que mis à part la division des polynômes, tu ne saches pas faire la suite en étant dans le supérieur...

Allez, au taf ! et reviens nous dire ce que tu as fait...

@+

lucie · 14-03-2010 13:52:00

re

alors j'ai fait le delta du polynôme qui est égale a 64 aprés j'ai trouver pour X1=-5 et X2=3
donc le polynôme A=(X-2)(X-5)(X+3).est ce bon ??

ensuite la question suivante estt
Soient p et q deux nombres réel et alpha,beta,gama les 3 racines complexes du polynôme.

P= X^3+pX+q. on pose Sk=alpha^k+beta^k+gamma^k

calculez s0,s1,s2 en fonction de p et q.

j'ai essayer de faire mais je ne trouve pas car j'ai remplacer k par 0 et aprés je me retrouve bloqué.

merci ;;;
lucie

yoshi · 14-03-2010 15:55:52

Bonjour,

Nan, c'est (x-2)(x-a)(x-b)
Tant d'erreurs de signe à ton niveau, ça va vite devenir rédhibitoire... !!!
Donc, tu as (x-2)(x-3)(x+5)

Je ne vois pas pour l'instant le rapport entre ce qui précède et la question suivante.
3 solutions complexes ? On devrait alors avoir [tex]\alpha \not = \beta \not = \gamma[/tex]
Je ne vois pas bien plus d'autre exploitation de ces racines autres que :
[tex]\begin{cases}\alpha^3+p\alpha+q &= 0\\\beta^3+p\beta +q &= 0\\\gamma^3+p\gamma+q &=0\end {cases}[/tex]
[tex]S_1=\alpha + \beta + \gamma[/tex]
Et pour l'instant j'en suis là :
Soustraction des égalités (1) et (2) :
[tex]\alpha^3-\beta^3 + p(\alpha - \beta) = 0[/tex]
[tex](\alpha - \beta)(\alpha^2+\alpha\beta+\beta^2)+p(\alpha - \beta)=0[/tex]
Et si alpha et beta sont différentes, alors :
[tex]\alpha^2+\alpha\beta+\beta^2+p = 0[/tex]

Après, j'imagine qu'il faut faire d'autres combinaisons linéaires pour arriver à exprimer alpha + beta + gamma en fonction de p et q...

Il me vient une autre idée qui serait bien plus simple, il doit bien y avoir dans le cours du Supérieur, le pendant de la formule x²-Sx+P=0 pour les équations du 2nd degré où S et P sont les somme et produit des racines et ce, pour les équations du 3e degré : aucune raison du contraire !
Moi, je ne la connais pas : jamais vu ou oubliée (ça commence à faire un bail...).
Tu vas bien trouver, si toi-même tu ne le sais pas, quelqu'un, de passage sur ce forum, et qui sait...

Bon courage

@+

yoshi · 15-03-2010 10:49:10

Re,

Personne ne sait ? Pas possible !
Fred, freddy, Roro...etc, où êtes-vous ?

En fouillant sur le Net, j'ai trouvé ça :
http://www.mathforu.com/pdf/equations-t … -degre.pdf
Et sur ÎleMaths quelqu'un disant que les 3 solutions d'une équation du 3e degré sont telles que :

AU troisième degré, on a X^3-SX²+SSX-P, où SS représente la somme des produits de racines prises 2 à 2.
Ensuite tu n'as plus qu'à généraliser : le premier coefficient sera toujours l'opposé de la somme des racines, et le dernier le produit des racines avec un + si le degré est pair ou un - si le degré est impair.

Je ne sais pas ce que ça vaut, parce que si cette formule est juste, on a alors [tex]\alpha+\beta+\gamma = 0[/tex] ce qui me paraît louche.. ?

@+

[EDIT]
Et bien j'avais tort...
[tex]\alpha,\;\beta,\;\gamma[/tex] étant les solutions de P(x)= x^3+px+q, celui-ci se factorise ainsi :
[tex](x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)[/tex]
On développe :
[tex](x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma) = (x-\alpha)(x^2-(\beta+\gamma)x+\beta\gamma)[/tex]
[tex](x-\alpha)(x^2-(\beta+\gamma)x+\beta\gamma) = x^3-(\beta+\gamma)x^2+\beta\gamma x-\alpha x^2+\alpha(\beta+\gamma)x-\alpha\beta\gamma[/tex]
On a donc :
[tex](x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma) = x^3-(\beta+\gamma)x^2+\beta\gamma x-\alpha x^2+\alpha(\beta+\gamma)x-\alpha\beta\gamma[/tex]
Et :
[tex](x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma) = x^3-(\alpha+\beta+\gamma)x^2+(\alpha\beta+\alpha\gamma+\beta\gamma) x-\alpha\beta\gamma[/tex]

Le polynôme de départ ne comportant pas de termes du 2nd degré, la somme de ses racines est bien nulle.
D'où, pour revenir au problème :
[tex]\alpha\beta+\alpha\gamma+\beta\gamma = p[/tex]
[tex]\alpha\beta\gamma = -q[/tex]
[tex]\alpha+\beta+\gamma = 0[/tex]
Et donc :
[tex]S_0=\alpha^0+\beta^0+\gamma^0 = 1 + 1 + 1 = 3[/tex]
[tex]S_1=\alpha+\beta+\gamma = 0[/tex]
[tex]S_2=\alpha^2+\beta^2+\gamma^2[/tex] serait donc le seul à devoir (pouvoir ?) être exprimé en fonction de p et q...

Tiens freddy et Fred ont répondu...

Dernière modification par yoshi (15-03-2010 11:34:40)

freddy · 15-03-2010 11:01:51

Salut,

je m'occupais des élections ...

Bon, sinon, méthode de cardan je pense, mais je vais regarder plus avant tout à l'heure.

Bb

Fred · 15-03-2010 11:08:38

Salut,

Oui, oui, Yoshi, tu as raison, il y a une théorie général qu'on peut consulter ici,
mais qui à ma connaissance n'est plus tellement enseignée...

Dans ton cas, c'est facile, tu développes
[tex](X-\alpha)(X-\beta)(X-\gamma)=X^3-(\alpha+\beta+\gamma)X^2+(\alpha\beta+\alpha\gamma+\beta\gamma)X+\alpha\beta\gamma=X^3+pX+q[/tex]
et donc par identification, on obtient
[tex]S_1=\alpha+\beta+\gamma=0[/tex] et [tex]\alpha\beta+\alpha\gamma+\beta\gamma=p[/tex]
Pour trouver [tex]S_2[/tex], il faut travailler un peu, en écrivant :
[tex]\alpha^2+\beta^2+\gamma^2=(\alpha+\beta+\gamma)^2-2(\alpha\beta+\alpha\gamma+\beta\gamma)[/tex]
Je te laisse trouver la valeur de [tex]S_2[/tex].

Fred.

yoshi · 15-03-2010 11:38:52

Salut,

Tout occupé à me débattre avec mes alpha beta gamma et ne tapant pas vite, j'ai réinventé la roue pendant que freddy et Fred me répondaient...

Ca me rassure, j'étais sur le bon chemin, et j'avais laissé le soin à lucie d'imiter :
a²+b² = (a+b)² - 2ab

Confirmation S_0 = 3 ?

@+

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