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vanessa91

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intégration par changements de variable [Résolu]

bonjour,
jai beaucoup de mal avec les changements de variables , pourriez-vous m'aider à l'exercice suivant s'il vous plait?

calculer les integrales suivantes en faisant un changement de variable:

1/     integrale de ((-pi/4)à(pi/2)) de cos (2t+(pi/4)) dt

2/ integrale de (1 à 4) de ((1- racine de t)/ racine de t) dt

merci d'avance

freddy

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Re : intégration par changements de variable [Résolu]

Salut,

quand tu fais un changement de variable, il faut que tu penses à changer aussi les bornes d'intégration et l'élément différentiel.

Pour la première intégrale u pose u = 2t + Pi/4, du=2dt,

on intègre de

[tex]u_0 = -\frac{2\pi}{4}+\frac{\pi}{4} =-\frac{\pi}{4}[/tex]  à

[tex]u_1=\frac{2\pi}{4}+\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}[/tex]

et l'intégrale devient :

[tex]\int_{u_0}^{u_1} \frac{\cos u}{2}du[/tex]

OK ?

Dernière modification par freddy (11-11-2009 22:59:12)

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De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

Fred

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Re : intégration par changements de variable [Résolu]

Bonjour,

  Je vais te détailler une rédaction pour le 2) (pour le 1), il n'y a pas de raisons de faire un changement de variables,
une primitive de [tex]\cos(2t+\pi/4)[/tex] étant [tex]\frac{1}2\sin(2t+\pi/4)[/tex]...

Il faut d'abord deviner quel changement de variables on doit faire...
Ici, d'après la forme de ton intégrale, on va poser [tex]u=\sqrt t[/tex].
Ceci est possible, car la fonction [tex]t\mapsto\sqrt t[/tex] réalise une bijection de [1,4] sur [1,2].
En particulier, quand t vaut 1, u vaut 1, et quand t vaut 4, u vaut 4.
Ensuite, il faut remplacer ce qu'il y a à l'intérieur de l'intégrale.
Pour une partie, c'est facile :
[tex]\frac{1-\sqrt t}{\sqrt t}=\frac{1-u}{u}[/tex]
Le plus difficile, c'est de changer l'élément différentiel dt.
On part de [tex]u=\sqrt{t}[/tex] et on dérive "à la physicienne". On obtient
[tex]du=\frac{1}{2\sqrt t}dt[/tex], soit [tex]dt=2\sqrt t du=2udu[/tex]
Ton intégrale est donc égale à
[tex]\int_1^2 \frac{1-u}{u}2udu[/tex]
qui se calcule facilement!

Fred.

[Edit : Tiens, Freddy est passé avant moi!]

yoshi

Modo Ferox

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Re : intégration par changements de variable [Résolu]

Bonjour,

Dans la série "Pourquoi faire simple puisqu'on faire compliqué", je vais rajouter mon grain de sel...
D'accord, il faut prendre ces exos comme des "gammes", mais pour le 2e aussi je pense que le changement de variable est inutile.

En effet :
[tex]\int_1^4\frac{1-\sqrt t}{\sqrt t}\;dt=\int_1^4\left(\frac{1}{\sqrt t}-\frac{\sqrt t}{\sqrt t}\right)\;dt=\int_1^4\left(\frac{1}{\sqrt t}-1\right)\;dt=\int_1^4 \frac{1}{\sqrt t}\;dt\;-\int_1^4 dt=\left[2\sqrt t\right]_1^4-\big[t\big]_1^4[/tex]

est aussi simple, non ?

@+

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Fred

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Re : intégration par changements de variable [Résolu]

Oui, tu as parfaitement raison....