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#1 24-02-2006 21:04:00

jean56
Invité

[Résolu] Exos sur les suites

Bonsoir j'ai un eos à faire sur les suites mais moi et les suites sa fait 2 et je n'était pas la au cours donc je nage un peu dans tout sa pourriez vous m'aidez et m'expliquer svp
F est la fonction définie pour x > 1-2 par f(x) = x²/(2x-1)
1-Demontrer que, pour tout x > ou egal à 1 , f(x) > ou égale à 1
On peut donc définir la suite u= (Un) par:
U(0)= 2 et U(n+1) =f(Un) pour tout entier naturel n
on se propose, dans la suite de l'exercice, d'exprimer Un en fonction de n
2- on considere les suites V=(Vn) et W=(Wn) telles que,
Vn = (Un-1)/Un et Wn=Ln Vn
a) Verifier que Vn et Wn sont bien définis
b)demontrer que la suite W est une suite géometique
c)Exprimer, pour tout entier naturel n, Wn puis Vn en fonction de n et en deduire que Un = 1-(1 - 0,5 ^ 2n)
En deduire la limite de la suite U
Merci
Bonne soirée

#2 27-02-2006 18:39:25

J2L2
Invité

Re : [Résolu] Exos sur les suites

x > 1-2  f(x) = x²/(2x-1)

1-Demontrer que, pour tout x > ou egal à 1 , f(x) > ou égale à 1


-----------> il te suffit de tracer la courbe (calcul de dérivée, ... etc)

par contre, que signifie :  x > 1-2 ??

#3 28-02-2006 19:56:35

Jean56
Invité

Re : [Résolu] Exos sur les suites

Merci
C'est x> à 1/2 c'est une erreur de frappe désolé

#4 05-03-2006 19:09:29

Matouille2b
Membre
Inscription : 05-03-2006
Messages : 3

Re : [Résolu] Exos sur les suites

Slt Jean56, voilà quelques réponses pour t'aiguiller:

1. Pour tout x>=1, f'(x)=(2x(x-1))/(2x-1)^2>=0
Donc f st croissante sur [1,+ infini[
Donc pour tout x>=1, f(x)>=f(1)=1 ie l'intervalle ]1,+ infini[ est stable par f.
Donc on peut définir la suite (Un) par U0=2 et Un+1 = f(Un) car ]1,+ infini[ ne contient pas 1/2.


2.On vient de voir que pour tout n  , Un >1 donc Un différent de 0 donc (Vn) est bien définie

Donc pour tout n Vn>0 donc Wn = ln (Vn) est bien défini.

D' autre part (Un+1  - 1)/Un+1 = (Un  - 1)^2/Un^2.
Donc Wn+1 = 2 ln( (Un  - 1)/Un)= 2 ln(Wn).
Donc (Wn) est un suite géométrique de raison q=2 et de premier terme W0=ln(1/2)=-ln(2).
Donc pout tout n, Wn = - ln(2) 2^n.
Donc pour tout n Vn = exp(Wn) = (1/2) ^(2^n)

En inversant l'équation Vn = (Un  -1)/Un on obtient:
Un = 1/(1 - Vn) = 1/(1 - (1/2) ^(2^n))

Or (1/2) ^(2^n) = exp(2^n ln(1/2)) et lim 2^n = +infini et ln(1/2) <0 donc lim Un = 1.

Voilà et bonne chance pour la suite ....

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