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#1 24-02-2006 20:32:20

choupette95
Invité

[Résolu] fonction logarithme et exponentielle

bonsoir j'ai un exercice à faire pour la rentrée et je n'y arrive pas du tout,si vous pouviez m'expliquer la demarche
Le plan est rapporté à un repere orthonormal (O;i,j)
(unité graphique:4 cm)
On considere la fonction f definie sur R par:
f(x)= Ln(1+exp(-x))
On note T la fonction representative de la fonction dasn le repere (O;i,j)
Partie 1
1- Determiner la limite de f en - linfini, puis la limite de f en + linfini
2- etudier le sens de variation de f
3-Demontrer que, pour tout nombre réel x:
f(x) = -x + Ln (1+exp(x))
En deduire que la courbe T admet, en - linfini, une asymptote, notée Delta
4-tracer Delta et T

Partie 2
1-Verifier que , pour tout nombre réel x:
F'(x)= -1/(1+ exp(x))
2-On note A,B et C les points de T d'abscisses respectives 0,1 et -1
on appelle T0,T1 et T-1 les tangentes respectives ) la courbe T aux points A,B et C
a) demontrer que la droite (BC) est parallele à la droite T0
b) Determiner l'abscisse du point d'intersection de T1 et T-1
Merci
Bonne soirée

#2 25-02-2006 17:29:50

Choupette95
Invité

Re : [Résolu] fonction logarithme et exponentielle

1)
Limite de f(x) en + linfini = - linfni
Limite de f(x) en - linfini = + linfini

2)
F est toujours decroissante car sa dérivée f'(x) = -exp(-x) / 1 + exp(-x) est toujours négative

3)
f(x) = Ln(1+exp(-x))
f(x) = Ln(1 + 1/exp(x))
f(x) = Ln ((1+exp(x))/ exp(x))
f(x) = Ln(1+exp(x)*exp(-x))
f(x) = -x + Ln(1+exp(x))

Partie 2
1)
f'(x) = -exp(-x) / (1+exp(-x))
f'(x) = (-1/exp(x)) / ((1+exp(-x))/1)
f'(x) = -1/(1+exp(-x) * exp(x))
f'(x) = -1 / exp(x) + exp(-x) * exp(x)
f'(x) = -1 / 1+exp(x)

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