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#1 17-02-2006 20:23:45

Ti' sam
Invité

[Résolu] "la divine proportion" j'y comprends rien !!!

Bonjour à tous, j'ai un devoir à rendre pour lundi et je n'ai toujours pas résolu mon problème le voici:
" On note L et l la longueur et la largeur du rectangle "idéal" ABCD .
On pose Q(le nombre fi) = L/l.
Déduire que Q (fi) est solution de l'équation x²-x-1= 0
Vérifier l'égalité x²-x-1 = (x - 1/2)² - 5/4.
Donner la valeur exacte de Q(fi) (sachant que je connait la valeur de Q(fi) )

#2 18-02-2006 18:48:17

J2L2
Invité

Re : [Résolu] "la divine proportion" j'y comprends rien !!!

Ton énoncé est incomplet puisqu'on ne te précise pas ce qu'est un rectangle "idéal"

#3 18-02-2006 18:55:39

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 16 947

Re : [Résolu] "la divine proportion" j'y comprends rien !!!

Bonjour,

La divine proportion" est aussi appelée "section dorée" et a donc un rapport avec le nombre d'or, appelons-le no. Lorsque dans un rectangle le rapport Longueur/largeur = no, ce rectangle est considéré est considéré par beaucoup comme le plus harmonieux, pour ton exercice, "idéal".
Ici Q = no.
Il faut que, si à l'intérieur de ce rectangle ABCD, on trace un carré AMND dont le côté AM est égal à la largeur AD du rectangle, le rectangle MBCN ainsi restant ait également un rapport Longueur/largeur qui reste le même que dans le rectangle de départ...
Je vais essayer de faire un semblant de schéma :

D                   N            C
___________________
|                     |           |                                   
|                     |           | 
|                     |           | 
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|                     |           | 
|____________|______|
A                     M          B

Il y a section dorée si AB/AM = AM/MB, soit AM^2 = AB.MB

Si on pose AB = x (donc x> 0) et AM = 1, on a MB = x - 1 et on obtient  1^2 = x(x - 1), soit l'équation du second degré qu'on t'a donnée :
x^2 -x-1 = 0

Vérifier l'égalité.
x^2-x-1 = (x - 1)^2 -5/4
Il suffit de développer le 2nd membre et de réduire et d'ordonner et d'arriver à l'égalité...
Plus "joli" serait de le démontrer, en considérant x^2-x comme le début du développement de (x-1/2)^2 (il manque alors le carré de 1/2):
Soit x^2-x = (x- 1/2)^2 -1/4
Et enfin :
x^2-x-1 = (x-1/2)^2-1/4-1 = (x-1/2)^2-5/4

D'où
(x - 1/2)^2 - 5/4 = 0
ou encore (x-1/2)^2 - (rac(5)/2)^2 = 0
Produit remarquable 3e a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)
D'ou l'équation s'écrit :
(x -1/2 + rac(5)/2) (x - 1/2 - rac(5)/2) =0
Tu peux conclure que la seule solution, puisque x > 0, est : (1 + rac(5))/2

J'espère avoir été clair ...


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Hors ligne

#4 22-02-2006 19:46:40

PTi' sam
Invité

Re : [Résolu] "la divine proportion" j'y comprends rien !!!

Merci bcp!!!!!!!!

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