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cc

Invité

Formule Taylor + EDP ordre 4 [Résolu]

bonjour,

J'ai une équation différentielle et des conditions aux limites. J'essaie de discrétiser tout ça pour le résoudre numériquement en 2D (domaine rectangulaire borné) et en stationnaire :
-un double laplacien (ordre 4 donc)
-2 conditions aux limites sur chaque bord (une fait le lien entre la fonction et ses dérivées d'ordre 3 et l'autre entre une dérivée de la fonction et ses dérivées d'ordre 2)

Les conditions aux limites sont censées me donner l'expression des points de la grille virtuelle (ceux en dehors du domaine) en fonction des points qui sont dedans. J'utilise ces expressions pour construire la matrice du double laplacien.

Si je combine les conditions aux limites en x=0 et y=0, j'ai 4 équations. Il me faudrait des conditions aux limites dans les coins pour fermer le système, ce que je n'ai pas. Est-ce rigoureux d'utiliser des formules de Taylor autour de (x=0,y=0) pour avoir d'autres équations à appliquer dans les coins / pour assigner des valeurs approchées à certains points de la grille virtuelle?

Roro

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Messages : 1 565

Re : Formule Taylor + EDP ordre 4 [Résolu]

Bonsoir,

Même si je ne suis pas certain de répondre à la question, je vais me permettre de donner quelques avis (questions) sur le problème :
Si j'ai bien compris, tu as à résoudre une équation aux dérivées partielles qui ressemble à [tex]\Delta^2 u = f[/tex].
L'inconnue est une fonction [tex]u:[0,L]\times[0,H] \mapsto \mathbb R^n[/tex].

Comme tu sembles le dire à juste titre, il faut des conditions au bord pour que le problème soit "bien posé" c'est à dire pour qu'on soit certain qu'il existe une et une seule solution.
Es-tu sur que le problème que tu traites (avec tes conditions au bord) a cette propriété ?

A mon avis, pour que la solution soit (un peu) régulière il faut que les conditions soit "compatibles", c'est-à-dire que la condition imposée sur le bord x=0 et celle imposée sur le bord y=0 coïncident au coin x=y=0.

En tout cas, le fait d'utiliser les formules de Taylor pour faire l'approximation dont tu parles est rigoureuse (c'est aussi la base pour de nombreuses méthodes d'approximation et en particulier celle des différences finies - j'ai l'impression que tu utilises cette méthode).

Enfin, en général pour discrétiser le double laplacien (ou bilaplacien) on utilise souvent la forme équivalente suivante : [tex]\Delta u = v, \quad \Delta v = f[/tex] ce qui permet de traiter le même problème comme un système et d'utiliser la discrétisation habituelle du laplacien (évidemment pour que ça marche il faut aussi regarder ce que deviennent tes conditions au bord).

En espérant t'avoir éclairé sur certains points.
N'hésite pas à reposter si tu as une question précise.

Roro.

cc

Invité

Re : Formule Taylor + EDP ordre 4 [Résolu]

Mon équation est : [tex] {\Delta}^4 u\,=\,f_0 [/tex], avec [tex]u\,:\,[0,L] \times [0,H] \rightarrow \mathds{R}[/tex].
Possible de la réécrire [tex] {\Delta}^2 u\,=\,f_1 [/tex], avec [tex]u\,:\,[0,L] \times [0,H] \rightarrow {\mathds{R}}^2[/tex]...

Le problème a des solutions formelles connues dans certains cas et a déjà été résolu numériquement dans le cas général. Il est bien posé. Les conditions aux limites en x et en y sont cohérentes (il me semble), car elles ne font pas intervenir les mêmes dérivées. Par exemple en x=0 :

[tex] u(0,y)\,=\,a_{x0} \times \frac{{\partial}^3 u}{{\partial x}^3}\,+\,b_{x0} \times \frac{\partial^3 u}{\partial x{\partial y}^2} \, \mbox{faut inverser x et y en y=0}[/tex]

Mon doute résidait dans l'utilisation des formules de Taylor pour discrétiser les conditions aux limites et pour assigner des valeurs approchées aux points de la grille virtuelle dans les coins. L'utilisation de ces valeurs approchées est valable d'un point de vue mathématique, mais a un sens physique assez obscur pour moi (elles donnent des conditions aux limites plus régulières, ce qui ne colle pas forcément avec la réalité).

Merci pour ton aide, je reviendrais ici en cas de problème.

cc