Forum de mathématiques - Bibm@th.net

nissou

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[Résolu] problème de géométrie A L'AIDE.......

Soit ABCD un rectangle. Soient I,J,K,L les milieux respectifs des côtés [AB], [BC],[CD] et[DA].
Les droites (AK) et (BL) se coupent en P
Les droites (IC) et (BL) se coupent en Q
Les droites (AK) et (DJ) se coupent en S
Les droites (IC) et (DJ) se coupent en R
LA parallèle à (DR) passant par C coupe (AK) en M
   
            Question 1 : construire la figure (ça y est ça  c'est fait)
            Question 2 : montrer que les droites (IC) et (AK) sont parallèles .On  admettra que les droites (LB) et (DJ) sont parallèles.
            Question 3 : déduire la nature du quadrilatère (facile c'est un parallélogramme)
           question 4 : montrer que les triangles DSK et DRC  sont semblables . On admettra que les triangles CBQ et CJR sont semblables . Quel est le rapport d'agrandissement commun ?         

J'attends vos aides si possible avec impatience

Michaël

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Re : [Résolu] problème de géométrie A L'AIDE.......

2) Il est clair que les triangles ADK et CBI sont semblables car : les angles en D et en B sont droits, les côtés AD et BC, DK et IB sont égaux deux à deux; finalement on en déduit que les deux triangles sont égaux. Donc les angles DKA et BIC sont égaux, ce qui prouve bien que AK et IC sont parallèles.

4) Les deux triangles ont l'angle en D en commun. Comme AK et IC sont parallèles, il est clair que les angles en S et en R sont égaux, de même que les angles en K et en C; les deux triangles sont donc semblables.
Par Thalès on montre que le rapport d'agrandissement est (DR/DS)^2=(DC/DK)^2=(RC/SK)^2 au choix. C'est juste non ?

nissou

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Re : [Résolu] problème de géométrie A L'AIDE.......

slt Michaël sava,voilà mon problème continue et j'ai besoin de ton aide

5) montrer que les triangles KMC et DSK sont isométriques .

6) montrer que les deux parallélogrammes PQRS et  MCRS sont superposables. Comparer leurs aires.

7) comparer l'aire du triangle DRC et l'aire du quadrilatère PQRS

8) montrer que l'aire du quadrilatère PQRS est égale au cinquième de l'aire du rectangle ABCD

NOTES: ce résultat est connu sous le nom de théorème de Varignon

Michaël

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Re : [Résolu] problème de géométrie A L'AIDE.......

5) Vu que DJ et MC sont parallèles et que K est le milieu de DC, on déduit assez facilement que les deux triangles sont isométriques (mêmes angles, mêmes longueurs des côtés).

6) Même chose, on déduit assez facilement que des angles et des côtés sont égaux entre les deux parallélogrammes grâce aux parallèles; et donc les deux parallélogrammes sont superposables.

7) aire de PQRS = aire de DRC (faire un dessin et utiliser les réponses aux questions 5 et 6).

8) Il faudrait que je réfléchisse, parce que ça ne me saute pas aux yeux, mais je n'ai pas assez de temps. Je suppose qu'on doit pouvoir remplir le rectangle ABCD avec 4 triangles isométriques à DRC (à vérifier), et il resterait le parallélogramme PQRS qui a la même aire que DRC, donc effectivement une aire équivalente à 1/5 de l'aire de rectangle.