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freire

Invité

estimateur variance minimisant l'eqm [Résolu]

Bonjour,

Je suis confronté au problème suivant depuis plusieurs heures, je pense tourner autour du pot.

On considère n VA iid Xi suivant une loi normale (mu,  [tex]{\sigma }^{2}[/tex] )

On cherche un estimateur [tex]\widehat{\sigma }[/tex]² de la variance minimisant l'erreur quadratique moyenne.

pour cela on cherche [tex]\widehat{\sigma }[/tex]² de la forme a*[tex]\sum^{n}_{i=0}{\left({X}_{i}-\bar{{X}_{n}}\right)}^{2}[/tex]  et donc tel que E[([tex]\widehat{\sigma }[/tex]²- [tex]{\sigma }^{2}[/tex])²)] soit minimale.
avec  [tex]\bar{{X}_{n}}=1/n\sum^{n}_{i=0}{X}_{i}[/tex]

habituellement on pour estimateurs de la variance :

[tex]\sum^{n}_{i=0}{\left({X}_{i}-\bar{{X}_{n}}\right)}^{2}[/tex] /n qui est biaisé

[tex]\sum^{n}_{i=0}{\left({X}_{i}-\bar{{X}_{n}}\right)}^{2}[/tex] /(n-1) qui est non biaisé.

le résultat est a=1/(n+1)

car f(a)= E[([tex]\widehat{\sigma }[/tex]²- [tex]{\sigma }^{2}[/tex])²)] =  [tex]{\sigma }^{4}\left({a}^{2}\left(n-1\right)-2a\left(n-1)+1\right)\right)[/tex]

de dérivée nulle pour a=n+1.

Or je n'arrive pas à cette expression de f(a) car je me heurte au calcul de Var([tex]\widehat{\sigma }[/tex]²) dans la méthode que j'utilise.

Merci pour vos conseils

freddy

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Re : estimateur variance minimisant l'eqm [Résolu]

Salut,

je regarde assez vite.

Je ne comprends pas bien pourquoi [tex]a= \frac{1}{n+1}[/tex].

ne serait ce pas plutôt [tex]a=\frac{1}{n-1}[/tex] ?

Sinon, dans ton expression de f(a), la dérivé f' par rapport à a est nulle pour a = 1, non ?

Sinon, la variance de l'estimateur sans biais est égale à :

[tex]Var(sb) = \frac{2\sigma^4}{n-1}[/tex], tandis que celle de l'estimateur biaisé est égale à :

[tex]Var(b) = \frac{n-1}{n}Var(sb)[/tex]

ce qui soulève un petit paradoxe en ce sens que l'estimateur biaisé à une variance plus faible que l'estimateur sans biais.

Un seul point nous rassure : quand n est assez grand, ce point de détail se réduit à un tout petit ... point.

Autre point de détail : fait gaffe dans tes indices, il semble que tu as (n+1) var iid, et non pas n ! ...

Dernière modification par freddy (06-06-2009 00:07:53)

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De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.