Forum de mathématiques - Bibm@th.net

tevuac

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sin ( ln n) [Résolu]

Bonjour,
Je pense que cette suite diverge.Malheureusement, je n'arrive pas à l'établir
Merci à celui qui pourra m'éclairer sur la question

Fred

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Re : sin ( ln n) [Résolu]

Bonjour,

  Tu as raison elle est divergente.
Il faut bien sûr s'inspirer du fait que [tex]sin(k\pi)=0[/tex] et [tex]\sin(k\pi+\pi/2)=1[/tex]
pour tout entier k. Bien sûr, si n est un entier, [tex]\ln(n)[/tex] ne sera jamais égal à [tex]k\pi[/tex].
Mais l'idée est que le logarithme croit très doucement au voisinage de l'infini.
Ainsi, si x est tel que [tex]\ln(x)=k\pi[/tex], et si n est la partie entière de x, alors
[tex]\ln(n)[/tex] sera presque égal à [tex]\ln(x)[/tex].

On peut formaliser cela à l'aide de l'inégalité des accroissements finis.
Etape 1. Une sous-suite converge vers 0

Soit k un entier supérieur ou égal à 2. Soit [tex]x_k=\exp(k\pi)[/tex]
et [tex]n_k[/tex] l'entier directement supérieur ou égal à [tex]x_k[/tex].
Remarquons que la suite [tex](n_k)[/tex] est strictement croissante et
que [tex]|n_k-x_k|\leq 1[/tex].

On applique ensuite l'inégalité des accroissement finis à la fonction [tex]\ln[/tex].
On obtient
[tex]|\ln (x_k)-\ln(n_k)|\leq\frac{|n_k-x_k|}{|x_k|}\leq \exp(-k\pi).[/tex]

On réapplique l'inégalité des accroissements finis avec la fonction sinus. On trouve

[tex]|\sin(\ln(x_k))-\sin(\ln(n_k))|\leq |\ln(x_k)-\ln(n_k)|\leq\exp(-k\pi)[/tex]

On en déduit que [tex]|\sin(\ln(n_k))|\leq\exp(-k\pi)[/tex] et donc
que cette sous-suite tend vers 0.

Etape 2 . Une sous-suite converge vers 1

On reprend exactement le même raisonnement, mais avec
[tex]y_k=\exp(k\pi+\pi/2)[/tex] et [tex]m_k[/tex]
l'entier immédiatement supérieur ou égal à [tex]x_k[/tex].

Les inégalités se reproduisent avec des changements immédiats, et
on trouve que la suite [tex](\sin(\ln(m_k)))[/tex] tend vers 1.

Ainsi, la suite admet deux sous-suites qui convergent vers des valeurs différentes.
Elle est divergente.

Fred.

tevuac

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Re : sin ( ln n) [Résolu]

Merci pour la réponse rapide.  Je vais mettre un peu de temps à la digérer donc je l'imprime et regarde cela dans la journée.  Je pense que la suite sin n  se traite un peu de la même façon. Je réflechis à tout cela et je reviens dans...

que ferais-je sans Fred??....merci encore

Domi

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Re : sin ( ln n) [Résolu]

Allez, je viens parasiter, et proposer qqchose qui me semble plus simple (mais y-a-t-il une faille dans mon raisonnement ?)
Ne serait-il pas possible de revenir à la base de la def de la convergence = existence d'une limite = passé un certain rang n, on peut enfermer tous les termes de la suite dans un intervalle aussi petit qu'on veut.
Si on prend un nombre entier N très grand, on peut toujours trouver un entier N' = E(N*exp(pi))
Quand N tend vers l'inf, on a ln(E(N*exp(pi)))-ln(N*exp(pi)) = ln(E(N*exp(pi))/N*exp(pi)) qui tend vers 1
Donc, on aura sin(ln(N'))~sin(ln(N)+?) = -sin(ln(N))
Si on choisit N pour que le sin(ln(N)) soit différent de 0 (et cette valeur peut par def du sin aller de -1 à +1), on ne peut pas trouver d'intervalle aussi petit qu'on veut contenant tous les termes de la suite.
Elle ne converge pas, donc elle diverge.
J'ai bon ?

Domi

Dernière modification par Domi (15-05-2009 14:36:34)

Fred

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Re : sin ( ln n) [Résolu]

Bonjour,

Donc, on aura sin(ln(N'))~sin(ln(N)+?) = -sin(ln(N))
Si on choisit N pour que le sin(ln(N)) soit différent de 0 (et cette valeur peut par def du sin aller de -1 à +1),
Domi

Je ne comprends pas ces deux phrases.

Fred.

tevuac

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Re : sin ( ln n) [Résolu]

J'ai compris la démonstration de Fred, celle de Domi m'échappe aussi .
En fait , mon idée était d'étudier la série de terme générale cos( ln n) /n en me ramenant à l'etude de la suite sin ( ln n) qui est ontenue en calculant   [tex]\int^{n}_{1}\cos \left(\,\ln \,t\right)/\,t\,dt[/tex]
( en application d'une propriété établie juste avant (  pour f:R+* dans C / 
[tex]\int^{\infty }_{1}\left|f'\left(t)\right)\right|dt\,[/tex] ........)

C'est probablement plus simple de travailler directement sur la série;
Mais alors là c'est encoe un problème pour moi...

Merci pour votre attention

Fred

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Re : sin ( ln n) [Résolu]

Salut,

  Effectivement, c'est plus simple de travailler directement sur la série.
Une indication : si cos(ln n) est proche de 1, alors cos(ln m) est encore proche de 1
pour de nombreux m proches de n.... et ta série ne va pas vérifier le critère de Cauchy.

Il est corrigé (c'est l'exo 13) dans la feuille d'exercice sur les séries - étude pratique, du site.

Fred.

tevuac

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Re : sin ( ln n) [Résolu]

Merci pour ces renseignements mais je ne comprends pas la correction proposée ( en particulier l'inégalité).
A bientôt , si je ne vous lasse pas

Dernière modification par tevuac (15-05-2009 19:26:36)

Fred

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Re : sin ( ln n) [Résolu]

Salut,

  Il y a une faute de frappe latex dans la correction. Il faut lire
[tex]S_k\geq \sum_{k=n_k+1}^{m_k}\frac{1}{2m_k}\geq\frac{m_k-n_k}{2m_k}[/tex]
J'espère que c'est cette inégalité que tu ne comprenais pas!

Les inégalités qui suivent me semblent aussi un peu douteuses, il faut le vérifier soigneusement, mais il suffit juste
d'utiliser les propriétés usuelles des parties entières.

Fred.

tevuac

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Re : sin ( ln n) [Résolu]

Bonjour ,
Le rectificatif ci-dessus m'a effectivement permis de comprendre la démonstration mais je ne serais pas capable de justifier proprement l'existence de Sk( autrement dit l'existence  d'entiers tels que
[tex]2k\pi \,-\,\frac{\pi }{3}\leq \,\ln \,n\leq 2k\pi +\frac{\pi }{3}{}_{}[/tex] ) cela vient du fait que " le log croit très doucement au voisinage de l'infini" mais je ne sais pas comment traduire cela en math
Cordialement

tevuac

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Re : sin ( ln n) [Résolu]

Bonjour,
Je viens de comprendre l'existence des nombres indiqués ci-dessus ( nous avons minoré mk - nk par un nombre > 1 donc il existe des entiers compris entre nk et mk, ces entiers conviennent) .. Cétait plutôt simple et  je suis désolée de ne pas l'avoir réalisé plus vite....
Merci encore  et bonne semaine