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#1 03-02-2006 17:32:28
- lili
- Invité
[Résolu] série convergente
voila mon problème :
je n'arrive pas à montrer que la série de terme général Un(x)=[sin (nx)*x^n]/n converge uniformément sur [-1,1] vers une fonction f continue???
comment montrer aussi que la fonction trouvée f est dérivable sur ]-1,1[ ??? Et lorsque l'on a calculé sa dérivée qu'est que l'on peut en déduire sur f??
comment trouver la valeur de sigma ((sin n)/n) lorsque n tend de 1 a linfini?
si quelqu'un trouve une réponse à mes questions j'aimerais avoir un maximum de détails pour que je puisse comprendre merci beaucoup c'est très important
#2 04-02-2006 12:13:13
- John
- Invité
Re : [Résolu] série convergente
Chercher peut-être du côté des séries de Fourrier... si tu les as étudiées.
Mais simple intuition !
A+ peut-être.
Bye
#3 04-02-2006 13:02:01
- lili
- Invité
Re : [Résolu] série convergente
aie mais je n'ai pas encore vu les séries de fourrier il n'y a pas un autre moyen pour résoudre ce problème??? parce que la je ne vois vraiment pas ! :s
#4 04-02-2006 19:15:37
- J2L2
- Invité
Re : [Résolu] série convergente
Soit A compris entre 0 et 1 strictement, alors :
|[sin (nx)*x^n]/n| <= (A^n)/n Or, A^n/n est le terme général d'une série
numérique cv (série entière x^n/n de rayon égal à 1 où l'on a fait x=A).
Donc la série de terme général [sin (nx)*x^n]/n converge normalement et donc
uniformément sur [A,A].
#5 04-02-2006 19:26:45
- J2L2
- Invité
Re : [Résolu] série convergente
Bien sûr, remplacer [A,A] par [-A,A].
la cv étant uniforme, la limite f est continue.
En ce qui concerne la dérivabilité de f, il te suffit de montrer que la série des
dérivées cv uniformément.
Donc : calculer [[(ncosnx)*x^n]+[nx^(n-1)]*sin nx]/n
#6 04-02-2006 21:13:41
- lili
- Invité
Re : [Résolu] série convergente
en ce qui concerne la convergence uniforme de Un(x) je l'ai prouvé grâce à la transformation d'Abel et je pense que c'est bon mais pour calculer la dérivée et trouver f je n'y arrive pas du tout
merci J2L2 de m'aider dans ma lancer ..
#7 05-02-2006 14:01:40
- J2L2
- Invité
Re : [Résolu] série convergente
Lorsque tu auras démontré que la série des dérivées converge uniformément vers une limite f', il te suffira d'intégrer f' pour avoir f.
#8 05-02-2006 14:28:33
- lili
- Invité
Re : [Résolu] série convergente
Peux tu m'en faire la démo J2L2? merci
#9 06-02-2006 09:25:08
- J2L2
- Invité
Re : [Résolu] série convergente
Comme je te le disais, on a u'n(x) = [[(ncosnx)*x^n]+[nx^(n-1)]*sin nx]/n
= x^n*cosnx+x^(n-1)*sinnx
Or, la série Sigma u'n(x) est normalement cv sur [-A,A] avec 0<A<1 puisque
|u'n(x)|<= A^n + A^(n-1) terme général d'une série numérique cv. Donc, Sigma
u'n(x) cv uniformément vers
f'(x)=somme de 1 à infini de x^n*cosnx+x^(n-1)*sinnx
pour l'intégration, utilise les théorèmes ...
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