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#1 03-02-2006 17:32:28

lili
Invité

[Résolu] série convergente

voila mon problème :
je n'arrive pas à montrer que la série de terme général Un(x)=[sin (nx)*x^n]/n converge uniformément sur [-1,1] vers une fonction f continue???

comment montrer aussi que la fonction trouvée f est dérivable sur ]-1,1[ ??? Et lorsque l'on a calculé sa dérivée qu'est que l'on peut en déduire sur f??

comment trouver la valeur de sigma ((sin n)/n) lorsque n tend de 1 a linfini?

si quelqu'un trouve une réponse à mes questions j'aimerais avoir un maximum de détails pour que je puisse comprendre merci beaucoup c'est très important

#2 04-02-2006 12:13:13

John
Invité

Re : [Résolu] série convergente

Chercher peut-être du côté des séries de Fourrier... si tu les as étudiées.
Mais simple intuition !
A+ peut-être.
Bye

#3 04-02-2006 13:02:01

lili
Invité

Re : [Résolu] série convergente

aie mais je n'ai pas encore vu les séries de fourrier il n'y a pas un autre moyen pour résoudre ce problème??? parce que la je ne vois vraiment pas ! :s

#4 04-02-2006 19:15:37

J2L2
Invité

Re : [Résolu] série convergente

Soit A compris entre 0 et 1 strictement, alors :

|[sin (nx)*x^n]/n| <= (A^n)/n   Or,  A^n/n est le terme général d'une série

numérique cv (série entière x^n/n de rayon égal à 1 où l'on a fait x=A).

Donc la série de terme général  [sin (nx)*x^n]/n converge normalement et donc

uniformément sur [A,A].

#5 04-02-2006 19:26:45

J2L2
Invité

Re : [Résolu] série convergente

Bien sûr, remplacer [A,A] par [-A,A].

la cv étant uniforme, la limite f est continue.

En ce qui concerne la dérivabilité de f, il te suffit de montrer que la série des

dérivées cv uniformément.

Donc : calculer [[(ncosnx)*x^n]+[nx^(n-1)]*sin nx]/n

#6 04-02-2006 21:13:41

lili
Invité

Re : [Résolu] série convergente

en ce qui concerne la convergence uniforme de Un(x) je l'ai prouvé grâce à la transformation d'Abel et je pense que c'est bon mais pour calculer la dérivée et trouver f je n'y arrive pas du tout

merci J2L2 de m'aider dans ma lancer ..

#7 05-02-2006 14:01:40

J2L2
Invité

Re : [Résolu] série convergente

Lorsque tu auras démontré que la série des dérivées converge uniformément vers une limite f', il te suffira d'intégrer f' pour avoir f.

#8 05-02-2006 14:28:33

lili
Invité

Re : [Résolu] série convergente

Peux tu m'en faire la démo J2L2? merci

#9 06-02-2006 09:25:08

J2L2
Invité

Re : [Résolu] série convergente

Comme je te le disais, on a u'n(x) =  [[(ncosnx)*x^n]+[nx^(n-1)]*sin nx]/n

= x^n*cosnx+x^(n-1)*sinnx

Or, la série Sigma u'n(x) est normalement cv sur [-A,A] avec  0<A<1 puisque

|u'n(x)|<= A^n + A^(n-1) terme général d'une série numérique cv. Donc, Sigma

u'n(x) cv uniformément vers

f'(x)=somme de 1 à infini de x^n*cosnx+x^(n-1)*sinnx

pour l'intégration, utilise les théorèmes ...

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