arithmétique [Résolu]

abousayfan · 02-05-2009 17:14:48

Bonjour..
Trouver tous les couples (x,y) d'entiers naturels vérifiant : [tex]{y}^{2}{\left(x-y\right)}^{2}=\left(x+y\right){x}^{2}[/tex]

Dernière modification par abousayfan (02-05-2009 17:15:22)

yoshi · 03-05-2009 13:19:08

Bonjour,

Je vois que tu as rectifié ton énoncé originel qui était :
[tex]{y}^{2}{\left(x-y\right)}=\left(x+y\right){x}^{2}[/tex]
lequel ne me semblait pas avoir de solution autre que (0 ; 0)
Un petit test info ce matin pour 0 < y < x <1000 me le confirme...

Bon, je vois que freddy qui a réclamé un exercice ne se manifeste pas : dommage !
Ce que je peux déjà dire :
* (0 ; 0) est une solution
* x > y
* [tex]\sqrt {x+y}\,\in\,\mathbb{N}^*[/tex] et donc x+y carré parfait

Je poursuivrai mes investigations plus tard : je vais laisser la place à freddy....

@+

freddy · 03-05-2009 15:48:32

Merci Yoshi,

je pense que je vais attendre que notre bon ami abousayfan nous donne un énoncé définitif ... J'ai le sentiment de courir après un lièvre farceur, qui change de position et de vitesse selon une loi de probabilité dont les deux premiers paramètres (m et sigma) sont eux même gouvernés par deux lois de probabilités permutables.
Autrement dit, j'ai l'impression de chercher en vain à saisir une savonnette bien mouillée dans ma salle de bain !
:-)

Dernière modification par freddy (03-05-2009 16:16:37)

abousayfan · 03-05-2009 21:32:11

Ce n'est pas ce que j'attend de toi freddy...
Bonne journée

Dernière modification par abousayfan (03-05-2009 21:33:17)

freddy · 04-05-2009 12:29:29

abousayfan a écrit :

Bonjour..
Trouver tous les couples (x,y) d'entiers naturels vérifiant : [tex]{y}^{2}{\left(x-y\right)}=\left(x+y\right){x}^{2}[/tex]

On a l'unique solution x=y=0

freddy · 04-05-2009 12:30:59

abousayfan a écrit :

Bonjour..
Trouver tous les couples (x,y) d'entiers naturels vérifiant : [tex]{y}^{2}{\left(x-y\right)}^{2}=\left(x+y\right){x}^{2}[/tex]

On a les deux solutions suivantes :

x = 24 et y=12

x=27 et y = 9

Et maintenant, j'attends la modification qui ne devrait pas tarder à venir !

+

yoshi · 04-05-2009 12:39:28

Bonjour,

Oui, j'avais aussi via programmation : 1 min, ainsi que (0 ; 0) à l'oeil, direct !
Maintenant, je vais chercher un raisonnement en poursuivant sur ma lancée...

@+

freddy · 04-05-2009 12:55:47

Bonjour Yoshi,

oui, bien sûr, je n'ai pas évoqué la solution triviale x=y=0.
Sinon, je pense que le résultat doit donner la piste du raisonnement, du genre il faut que x ou y soit multiple de y ou x de sorte que la somme et la différence soient aussi un mutliple de x ou y.

Qu'en penses - tu ?

Dernière modification par freddy (04-05-2009 12:57:10)

yoshi · 04-05-2009 13:08:55

Bonjour,

Sans faire appel aux résultats donnés, je veux chercher une piste qui me donne directement ces solutions...
J'ai déjà vu, en plus des premiers constats que j'ai donnés, que (x-y)² > x+y et que (x-y)² = k²(x+y) avec k entier naturel, mais pour l'instant, je ne sais pas trop par quel bout prendre ça...
Il faudrait que je trouve à exploiter que x+y, somme de deux naturels, est un carré et un diviseur de de (x-y)² :
- soit x et y sont deux carrés eux-mêmes et alors on retrouve Pythagore
- sot l'un des deux est un carré,
- soit aucun n'est un carré...
Je ne veux pas me servir des résultats, parce que je ne suis pas sûr que les élèves participant au concours puissent les obtenir rapidement et avec une quasi certitude qu'il n'y en pas d'autres (le test info pour x et y entre 0 et 1000 ne m'a rien donné d'autre)...

@+

freddy · 06-05-2009 14:28:21

Bonjour,

je tiens une bonne piste, mais je dois chercher ensuite à prouver que c'est la seule.

On fait l'hypothèse que x=py, p > 1, entier

On a donc à résoudre [tex]y=\frac{p^2(p+1)}{(p-1)^2}[/tex]

On a :

[tex]\frac{p^2(p+1)}{(p-1)^2} = p + 3 +\frac{5p-3}{(p-1)^2}[/tex]

Tout se réduit alors à résoudre l'équation en p : [tex]5p-3 = q\times (p-1)^2[/tex]

Pour que le discimant de cette équation en p soit un carré, on trouve rapidement que q = 6 ou q = 11/4 => deux solution pour p : p = 3 ou bien p = 2 et on retrouve les solutions ci dessus.

Il reste à trouver l'argument qui prouve qu'il n'y a pas d'autre manière d'y arriver.

Je renvoie aux petits génies de MathLand en attendant de le trouver ...

Autre piste : résoudre le polynôme du quatrième degré en y (paramètre x) par la méthode de Ferrari (qui a toujours au moins un Cardan) :

[tex]y^4 - 2xy^3 + x^2y^2 - x^2y - x^3 = 0[/tex]

to be continued ...

Dernière modification par freddy (06-05-2009 17:31:38)

freddy · 14-05-2009 15:07:46

Hello tutti,

suite et fin de ce joli problème.

L'équation initiale à résoudre peut aussi s'écrire, pour x et y non nuls :

[tex] (xy(x^2-y^2))^2 = (x+y)^3x^4 [/tex]

On sait que :

[tex] xy(x^2-y^2) [/tex] est divisible par 2 et par 3.

En effet, en développant on a : [tex] xy(x-y)(x+y) [/tex] qui est divisible par 2 car soit x ou y est pair, et si x et y sont impairs, la différence ou la somme sont paires.

De plus, pour la divisibilité par 3, on a :

x ou y sont multiples de 3 est l'affaire est dans le sac ;

on bien :

x = 1 ou 2 (mod 3) et y = 1 ou 2 (mod 3)

et soit la différence (si même congruence), soit la somme (si congruence différente) sont divisibles par 3. QED

Par conséquent, cela implique que [tex] (x+y)x^2 [/tex] doit être divisible par 2 ou 3 => que x et y sont colinéaires.

Les solutions ci dessus (y = 12 et x = 24 ou bien y = 9 et x = 27) sont donc uniques. QED

PS : il est probable qu'on puisse y arriver plus rapidement, j'ai fait avec les instruments de bord et en me "retapant" un cours d'arithmétique d'il y a très longtemps.

Dernière modification par freddy (14-05-2009 15:11:35)

ABB · 08-07-2009 12:24:31

Bonjour
Remarquer que si (x;y) est une solution de cette équation alors il existe un entier naturel a tel que [tex]x+y=a^2[/tex].Puis conclure que [tex]x(x-4a)[/tex] est un carrée parfait

freddy · 09-07-2009 19:18:14

Salut ABB,

je ne vois pas bien la dernière partie, comment fais tu ?

Merci d'avance.

ABB · 10-07-2009 00:20:27

Bonsoir
utiliser le fait qu'une équation du second degré à coefficients dans Z admet une solution dans Z si et seulement si son discriminent est un carrée parfait

freddy · 10-07-2009 08:25:23

Très intéressant !

Tu me montrerais comment tu fais, stp ?

Merci.

freddy · 10-07-2009 19:48:06

Re,

je suis un peu long à la détente ... Ok, c'est ce qui permet d'établir que les solutions trouvées sont uniques.

Merci mille fois ABB.

++

lounés · 13-07-2009 13:44:57

bon jr vous invite a voir le sujet de bac 2003 maroc option science mathematique

freddy · 13-07-2009 16:31:45

Re,

Ok trouvé cf. lien ci dessous :

http://www.mathsland.com/Mathematiques/ … 6_2003.pdf

C'est bon ?

ABB · 15-07-2009 19:32:51

Bonsoir
je crois que l'équation proposée à cet examen peut etre résolue sans passer les étapes imposées par l'examen; cela peut etre vu si on change simplement l'ecriture de cette équation.

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

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