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mosquito_bill

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Equation differentielle : y'=y^m * (1-y) [Résolu]

Bonjour,

Je souhaiterais savoir si quelqu'un parmi la communauté aurait connaissance de solution analytique ou aurait des idées concernant l'équation différentielle :

[tex]y'={y}^{m}\left(1-y\right)[/tex]
[tex]m\in {\mathcal{R}}_{+}[/tex]
[tex]y:\mathcal{R}\rightarrow \mathcal{R}[/tex]

Je bute sur ce problème qui m'agace d'autant plus que je sais qu'il existe des solutions pour :  [tex]y'=y\left(1-{y}^{m}\right)[/tex]
qui me semble par très différente.

Merci pour toute suggestion (même à me dire qu'il n'existe justement pas de solution analytique pour cette équation).

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 047

Re : Equation differentielle : y'=y^m * (1-y) [Résolu]

Salut,

  C'est une équation de type Bernoulli, non?
Regarde ici pour une explication pour en trouver
les solutions explicites.

Fred.

Roro

Membre expert

Inscription : 07-10-2007

Messages : 1 565

Re : Equation differentielle : y'=y^m * (1-y) [Résolu]

Salut,

L'équation que mosquito_bill sait résoudre est effectivement une équation de Bernouilli [tex]y'=y(1-y^m)[/tex].

Par contre, l'équation qui l'intéresse n'est pas de type Bernouilli (si je ne me trompe pas) mais on peut quand
même en dire des choses car elle est à variables séparées (voir le lien de Fred sur ce site).

1- Tu écris [tex] \frac{y'}{y^m(1-y)}=1[/tex]
2- Tu trouves une primitive de la fonction [tex]f:x\mapsto \frac{1}{x^m(1-x)}[/tex]
3- Dans le cas où m est un entier naturel, on peut utiliser la décomposition en éléments simples des fractions rationnelles. On doit trouver un truc du genre
[tex]f(x) = \frac{1}{1-x} + \frac{1}{x}+\cdots + \frac{1}{x^m},[/tex]
dont une primitive vaut
[tex]F(x) = -\ln(1-x)+\ln (x) - \frac{1}{x^2}-\cdots - \frac{m}{x^{m+1}}.[/tex]
4- Dans ce cas, une solution de ton équation différentielle devra vérifier
[tex]F(y) = x.[/tex]
5- Si on sait résoudre cette équation alors on en déduit y en fonction de x...

Roro.

PS 1. Il est fort probable que j'ai fait des erreurs de calculs
PS 2. Je doute qu'on sache trouver des solutions explicites dans le cas où m n'est pas un entier, et je ne suis même convaincu qu'on ne sait pas résoudre explicitement l'équation du point 4...

Dernière modification par Roro (29-04-2009 00:03:01)

mosquito_bill

Membre

Inscription : 28-04-2009

Messages : 3

Re : Equation differentielle : y'=y^m * (1-y) [Résolu]

Salut,

Merci, j'y vois plus clair, du moins sur ce qui est faisable.

Comme bien entendu je comptais m'intéresser aux exposant non entier, je pense qu'il va me falloir mettre de l'eau dans mon vin.

MB.

JJ

Membre

Inscription : 04-06-2007

Messages : 109

Re : Equation differentielle : y'=y^m * (1-y) [Résolu]

Bonjour,

une primitive de 1/((y^m)(1-y)) est la fonction Beta Incomplète B((1-m);0;y)
Il s'agit d'un cas particulier de Beta incomplète à cause du paramètre 0.
Formellement, on peut aussi l'écrire sous forme de fonction logarithme généralisé, ou de fonction de Lerch.
Lorsque m est entier, la fonction peut être explicitée avec les fonctions usuelles ( un ou deux logarithmes et une série finie de puissances négatives de y, comme Roro l'a déjà indiqué.
Lorsque m n'est pas entier, la fonction n'est pas exprimable avec un nombre fini de fonctions usuelles. Elle peut s'écrire sous forme de série infinie (sous réserve de convergence selon les valeurs de m et de y) :
x(y) = Sigma de (y^(k+1-m))/(k+1-m) pour k=0 à k infini.
La fonction réciproque de x(y), c'est à dire y(x) qui est la fonction réciproque de Beta Incomplète, soit argBeta incomplète, ne s'exprime pas avec un nombre fini de fonctions usuelles, dans le cas général. En pratique, le problème se traite par calcul numérique.