Theorème du relèvement [Résolu]

cléopatre · 16-04-2009 14:27:24

Bonjour à vous les bibmatheux !

Depuis aujourd'hui, j'ai le privilège de vous avoir en page d'accueil ;)
Je voulais juste savoir quel est l'intérêt du théorème du relévement.
Pour moi, le théorème est :
Si f est C1 il existe une unique fonction a(t) défini à 2pi près telle que :
f(t)/||f(t)||=exp(ia(t))
Je sais que l'on a aussi un théorème avec f continue mais il faut rajouter l'hypotèse f(t) différent de 0 pour tout t.
Cela étant dit, je voudrais savoir quels sont les résultats, les exercices ou autres reliant la théorème du relèvement avec le reste du programme.
J'espère que j'ai était assez claire.

Je sais aussi que l'on peut le mettre sous la forme cos(b(t))+i*sin(c(t)) avec a et b unique définies à 2pi près. Comment peut on déduire a(t) en fonction de b(t) et c(t). Il me semble que l'on a a(t)=b(t)=c(t) mais bon..

D'ailleurs en regardant la version de Bibmath, je m'aperçoit qu'il y a écrit : c'est un fait largement utilisé. Il est vrai que le fait que la fonction argument est utiliser je suis d'accord mais si celui qui à créer l'article disait qu'il l'utiliser beaucoup, je serais ravie d'en parler avec lui.

Bises de Cléo

Dernière modification par cléopatre (16-04-2009 14:30:04)

tibo · 16-04-2009 18:24:04

Bonjour,

D'après mon prof, c'est un thèorème très utile pour une étude théorique, mais dans la pratique assez peu utilisé. On a d'ailleur fait aucun exemple ni exo l'utilisant (du moins pas d'après mes souvenirs), mais j'ai trouvé un sujet nécessitant son utilisation : centrale MP 2008 math 1

Je remet le contexte
soit l'équa diff [tex](E) : y"+(\lambda-q(x))y=0 \ tel\ que\ a>0[/tex]
d'inconue y avec les conditions initiales y(0)=0 et y'(0)=[tex]\sqrt{\lambda}[/tex]
f la solution maximale
Prouver l'existance de r et t , C1 sur R telle que:
[tex] r>0 \ ,\ \frac{f'}{\sqrt{\lambda}}=r.cos(t)\ ,\ f=r.sin(t)\ ,\ t(0)=0 [/tex]

l'existance de r ne nous interesse pas mais est définie telle que
[tex]r=\sqrt{ \left( \frac {f'}{\sqrt{\lambda}} \right)^2 +f^2 } [/tex]

pour définir t, on pose
[tex]z=\frac{1}{r}\left( \frac {f'}{\sqrt{\lambda}}+i.f \right) \ \ C1\ de\ R\ dans\ C [/tex]
donc [tex] \forall x,\ |z(x)|=1 [/tex]

d'après le thèorème du relèvement,il existe [tex]\Phi [/tex], C1 de R dans R telle que
[tex] \forall x ,\ z(x)=e^{i \Phi (x)} [/tex]

On définit alors t telle que
[tex] \forall x ,\ t(x)=\Phi (x) -\Phi (0) [/tex]

puis on continue la démonstration en vérifiant chacune des conditions

Voila un exemple qui montre son utilisation, assez rare en fait.
Sur tout les sujet que j'ai fait c'est la première fois que je le rencontre.

J'espère t'avoir en partie répondu

Dernière modification par tibo (16-04-2009 18:25:47)

cléopatre · 16-04-2009 18:51:40

Oui merci de m'avoir répondu, d'ailleurs je l'ai fait ce pb. C'est vrai qu'en réalité j'ai du mal à le faire passer dans ma vie de tous les jours si je puis dire. J'ai l'impression que sa tombe comme un cheveu sur la soupe à chaque fois. C'est vrai que c'est assez fréquent à Centrale, on en avait aussi besoin pour 2003... Il y a plus pour moi que de le rentrer un peu en force même si sa reste que 5 semaines, c'est le principal.

Bises de Cléo

PS : si quelqu'un à d'autres applications, qu'il fasse signe
Je remercie encore Tibo ;)

Thomas75 · 29-04-2009 13:56:09

J'ai lu un article qui l’utilise à fond pour définir le degré d’une application de module 1. C’est rigolo car ça parle aussi des séries de Fourier. On peut le télécharger sur ce site http://www.lulu.com/content/1810872

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