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#1 15-04-2009 09:52:05

cléopatre
Membre active
Inscription : 24-10-2006
Messages : 359

Intégrale impropre [Résolu]

Bonjour à tous !

Que de questions, que de questions...
J'ai effectivement une question de cours  (t'es vague là Cléo!). Le problème c'est qu'on dit en exos mais qu'en cours le prof ne nous la jamais expliquer et moi cela ma toujours fait peur...

Je voudrais avoir une définition claire de l'intégrale impropre. Sur Bibmath on parle d'intégrale impropre lorsque une des bornes est infini. Il me semblait que c'était lorsque l'intégrale est calculable même si elle n'est pas intégrable du genre sin t / t.

Bises de Cléo


<-- cleopatre -- 19 ans -- débutante mais amoureuse des maths -->
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#2 15-04-2009 11:12:52

SébastienB
Membre
Lieu : Annecy
Inscription : 16-06-2008
Messages : 55

Re : Intégrale impropre [Résolu]

Bonjour,

c'est une extension de l'intégrale usuelle, définie par une forme de passage à la limite dans des intégrales.

http://fr.wikipedia.org/wiki/Intégrale_généralisée

d'autres personnes auront sûrement de meilleures explications

@+

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#3 15-04-2009 11:40:29

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 7 457

Re : Intégrale impropre [Résolu]

Je pense qu'il ne faut pas mélanger deux idées : une fonction admet une primitive qui s'exprime de manière simple (on bien en inventant une nouvelle fonction qui a de belles propriétés comme Ln et exp)  ; calcul d'une surface.

L'intégrale existe si le calcul même a un résultat fini, même si la fonction à intégrer n'admet pas de primitive !

Et je pense que la notion d'intégrale impropre a une origine historique, en ce sens qu'au début on devait calculer une surface dans une domaine d'intégration borné. C'est ensuite qu'on s'est posé la question d'une borne infinie ...

Je laisse le micro à Fred


De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

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#4 15-04-2009 13:11:59

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : Intégrale impropre [Résolu]

Re-bonjour Cléopatre,

  Si f est une fonction (par exemple) continue sur [a,b[, avec disons b fini ou infini, il y a deux notions distinctes donnant un sens à [tex]\int_a^b f[/tex].

1. La notion de fonction intégrale, ou d'intégrale absolument convergente : on peut toujours donner un sens
à [tex]\int_a^b |f|[/tex], car |f| est une fonction positive. On dit que la fonction f est intégrable.

2. La notion d'intégrale impropre : Pour tout x de [a,b], on peut définir
[tex]F(x)=\int_a^x f(t)dt[/tex]. On dit que l'intégrale impropre [tex]\int_a^b f(t)dt[/tex] converge si la fonction
F admet une limite quand x tend vers b. On pose alors
[tex]\int_a^b f(t)dt=\lim_{x\to b}F(x)[/tex]

Si une fonction est intégrable, alors, en appliquant le critère de Cauchy, son intégrale impropre est convergente.
La réciproque est fausse, comme le prouve sin(t)/t.

La vraie différence entre fonction intégrable et intégrale impropre, c'est que la plupart des théorèmes (type
permutation limite/intégrale, etc....) exige qu'on ait des fonctions intégrables.

Fred.

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#5 15-04-2009 13:43:09

cléopatre
Membre active
Inscription : 24-10-2006
Messages : 359

Re : Intégrale impropre [Résolu]

Merci à tous, j'ai bien compris !!


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