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picatshou

Invité

application linéaire et norme [Résolu]

Bonsoir tout le monde ,
Dans un exercice de cal cul de norme il est demandé de montrer que :|| x-y||>=| ||x||- ||y|| |
en sachant que c'est une norme quelquonque , en fait j'ai utilisé les définitions de la norme 1,2et infinie,mais ,c'est une très longue méthode ! je souhaite une autre méthode s'il vous plait ?

dans un autre exercice on a E est un K e.v de dimension  n et F,G deux sous espaces vectoriels de E
il est demandé de trouver une condition et suffisante sur Fet G pour qu'il existe un endomorphisme u de E tq Im u = F et Ker u =G  ,en fait cette condition est que Fet G sont supplémentaires .
Dans quelle mesure ma réponse est juste ?

on a f,g deux AL de E dans E  M q si fg=0 et f+g est inversible alors rgf+rgg=dim E , avec E un K e.v
Que je puisse faire sachant que j'ai montrer l'inégalité suivante :  | rgf - rgg  | <=rg(f+g)<=rgf+rgg .

dans un autre exercice il est demander de mq si p+q est un projecteur alors ,
Im( p+q)=Imp+Imq  et Ker (p+q)=Kerpcap sachant que pet q sont deux projecteurs de E .
Que je puisse faire ?

a t-on (E=Imf+Kerf) équivalent (Imf=Imf²) en dimension infinie ?
et enfin je veux savoir s'il vous plait la définition du centre d'un groupe linéaire ?
Merci d'avance !

Fred

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Re : application linéaire et norme [Résolu]

Bonsoir Picatshou,

  * Pour ton problème de normes, écris x=(x-y)+y et utilise l'inégalité triangulaire.
  * Pour tout premier problème de sevs, ta réponse n'est pas correcte.
La condition nécessaire évidente est que dim(F)+dim(G)=n (c'est le théorème du rang).
Elle est aussi suffisante (considère G' un supplémentaire de G dans E, définis
u sur G et sur G').
  * Pour tes autres exercices sur les applications linéaires, je te renvoie à la base de données d'exercices du site.
Ils y sont corrigés.
  * Le centre du groupe linéaire, ce sont les éléments du groupe linéaire qui commutent avec tous les éléments du groupe linéaire.

Fred.

picatshou

Invité

Re : application linéaire et norme [Résolu]

Rebonsoir  Mr Fred?
Merci bien pour les réponses mais pour l'avant dernière question et pour  la question qui consiste à démontrer que rgf + rgg= dim E je n'ai pas trouver des réponses .
pouvez-vous m'aider s'il vous plait
Merci d'avance !

picatshou

Invité

Re : application linéaire et norme [Résolu]

Bonjour bibmath,
s'il vous plait j'ai besoin des réponses avant de partir après 30 minutes
Merci d'avance!