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cléopatre

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Différentiabilité [Résolu]

BOnjour ! Mais dites donc, je suis en forme aujourd'hui !!

Je voulais vous demander un petit truc. Moi, quand on me demande si les dérivées partielles existent  j'ai un problème dans le sens où je ne vois pas ce qu'il faut faire : juste les calculer et dire elles existent, voir si elles sont bien définies (j'ai un penchant pour cette solution ;) )...enfin c'est assez flou.

En plus, quand on me demande trouver la différentielle en (0,0) par exemple, je calcule les dérivées partielles et mes calculs sont assez long.
Je calcul par exemple df/dx(x,y) et j'évalue en (0,0).
J'ai vu que certains font différemment : Il prenne directement f(x,0) et il l'a dérive et l'évalue en 0.
Comment est ce possible ??
Par exemple pour [tex]{xy}/({x^{2}+y^{2}}})[/tex], on a directement f(x,0)=0 donc df/dx(0,0)=0 et de même pour y.

Bises de Cléo

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<-- cleopatre -- 19 ans -- débutante mais amoureuse des maths -->
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Roro

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Re : Différentiabilité [Résolu]

Bonjour Cléopatre,

Je vais essayer de te répondre point par point :

Quand on te demande si les dérivées partielles existent, tu fais comme tu le faisais lorsqu'on te demandait si une dérivée existe : tu calcules un taux d'accroissement, et si il admet une limite alors la fonction est dérivable (et évidemment tu connais en plus la valeur de la dérivée).

En pratique, on peut souvent dire qu'une fonction est dérivable en utilisant des "théorèmes classiques" du style la somme de deux fonctions dérivables est dérivable... Il en est de même pour le calcul des dérivées partielles. Par exemple si tu te demandes si la fonction [tex]x \mapsto sin(x)+cos(x^2)[/tex] est dérivable en zéro tu ne va pas calculer de limite de taux d'accroissement...

Pour ce qui est du reste, je dirai tout d'abord qu'il ne faut pas confondre "f est différentiable" et "les dérivées partielles de f existent". Il existe un théorème qui dit que si f est différentiable alors elle admet des dérivées partielles. Par contre la réciproque est fausse... c'est l'exemple que tu donnes.

Pour être plus concret, pour calculer [tex]\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)[/tex] selon la définition de la dérivée partielle "par rapport à x", cela revient à calculer la dérivée en 0 de la fonction [tex]x\mapsto f(x,0)[/tex]. Dans l'exemple que tu donnes, on trouves bien [tex]\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=0[/tex].

De la même façon, on aura pour ton exemple [tex]\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=0[/tex].

Mais il y a un piège si on te demande qu'elle est la différentielle de f : cette application n'est pas différentiable en 0... (en fait elle n'est même pas continue en 0).

Je ne suis pas certain d'avoir été très clair, n'hésite pas à reposter pour éclaircir certains points.

Roro.

cléopatre

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Re : Différentiabilité [Résolu]

Non, c'est bon je te remercies, j'ai compris. Tu as été assez clair surtout sur le fait que en reprenant la définition on a (f(x,0))'(0)=df/dx(0,0).

Merci à toi et à bientôt.

Bises de Cléo

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freddy

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Re : Différentiabilité [Résolu]

Bonsoir Cléopatre,

tout est dit dans le lien ci après :

http://www.bibmath.net/dico/index.php3? … iable.html

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De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.