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#2 01-02-2006 21:13:36
- John
- Invité
Re : Vad
X et Y suivent la même loi uniforme sur l'ens {-n,n}
Densité de probabilité de X = Densité de probabilité de Y = 1/2n
Densité de probabilité de Z=X+Y ?
La densité du couple (X, Y) est nulle hors du domaine carré de côtés 2n parallèles aux axes (Ox, Oy) et centré sur l'origine.
Si les variables aléatoires X et Y sont indépendantes, la densité du couple est (1/2n)^2 sur le domaine carré.
Par définition de f(z), densité de probabilité de Z, on peut écrire :
f(z).dz = Pr(z =< Z < z+dz) = Pr(z =< X+Y < z+dz).
Dans le plan (Ox, Oy), c'est la probabilité que les valeurs x et y de X et Y soient situées à la fois dans le domaine carré ET entre les droites
x+y = z et x+y = z+dz. Comme la densité du couple est uniforme sur tout le carré, la probabilité est égale au produit de l'aire de la bande par la densité soit :
f(z) = (2n + z)/(4n^2) si z=<0
f(z) = (2n - z)/(4n^2) si z>=0
qu'on peut regrouper en f(z) = (2n -|z|)/(4n^2).
C'est une densité en forme de triangle entre -2n et + 2n dont le sommet pour z=0 est 1/2n.
Bye
#3 03-02-2006 22:31:47
- myriam
- Membre
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- Messages : 4
Re : Vad
Merci de m avoir répondu John, plus exactement le probleme est le suivant :
x et y sont des varibales aléatoires de meme loi discrete: la loi uniforme sur l'ens {-n,..,0,..,n} je dois trouver la probabilité de Z=x+y.
il me semble que la densité s'utilise pour les variables aleatoires continues...?
merci de me répondre John
Hors ligne
#4 04-02-2006 12:55:26
- John
- Invité
Re : Vad
Pour une loi de X discrète on a P(X=i) = a (équiprobabilité) pour i=-n..n.
Somme des probabilités élémentaires = 1 => Somme pour i=-n..n de P(X=i) = a.Somme pour i=-n..n de 1 = a.(2n+1)
d'où :
P(X=i) = 1/(2n+1) pour i=-n..n
P(X=i) = 0 partout ailleurs.
Si les variables X et Y sont indépendantes, la loi du couple aléatoire (X,Y) est donnée par :
P(X=i et Y=j) = P(X=i).P(Y=j) = 1/(2n+1)^2 pour les couples (i,j) d'entiers relatifs de {-n, n}
P(X=i et Y=j) = 0 partout ailleurs.
Pour obtenir la loi de Z=X+Y, v.a. de loi discrète également, qui prend ses valeurs sur {-2n, +2n} on écrit :
P(Z=k) = P(X+Y=k) = Somme de P(X=i).P(Y=j) pour les couples (i,j) d'entiers relatifs de {-n, n} tels que i+j=k
Pour interpréter dans le plan (Ox, Oy), on est conduit à sommer les probabilités discrètes du couple, sur la droite i+j=k où i peut prendre les valeurs entières de Ox entre -n et +n et idem pour j sur Oy.
Si tu sais manipuler les petites sommes avec contraintes (ici i+j=k), pas de problème.
Sinon, grosse récurrence :
k=-2n => (X=-n ET Y=-n) => 1 seul terme dans la somme => P(Z=-2n) = p = 1/(2n+1)^2.
k=-2n+1 => (X=-n ET Y=-n+1) OU (X=-n+1 ET Y=-n) => 2 termes dans la somme => P(Z=-2n+1) = 2p
k=-2n+2 => (X=-n ET Y=-n+2) OU (X=-n+1 ET Y=-n+1) OU (X=-n+2 ET Y=-n) => 3 termes dans la somme => P(Z=-2n+2) = 3p
...
k=-2n+(k+2n) => ... => P(Z=k) = (k+2n+1).p
...
k=0 => P(Z=k) = (2n+1).p
Pour les valeurs positives de k, on peut faire le chemin en sens inverse (merci le copier/coller) :
k=2n => (X=n ET Y=n) => 1 seul terme dans la somme => P(Z=2n) = p = 1/(2n+1)^2.
k=2n-1 => (X=n ET Y=n-1) OU (X=n-1 ET Y=n) => 2 termes dans la somme => P(Z=2n-1) = 2p (la loi en k est symétrique par rapport à k=0)
k=2n-2 => (X=n ET Y=n-2) OU (X=n-1 ET Y=n-1) OU (X=n-2 ET Y=n) => 3 termes dans la somme => P(Z=2n-2) = 3p
...
k=2n-(-k+2n) => ... => P(Z=k) = (-k+2n+1).p
...
k=0 => P(Z=0) = (2n+1).p
D'où la loi de la somme Z=X+Y :
P(Z=k) = (-|k|+2n+1)/(2n+1)^2 pour k=-2n..2n (et nulle partout ailleurs).
Bye
#6 05-02-2006 10:54:37
- John
- Invité
Re : Vad
La "méthode" proposée n'est pas une récurrence puisque k n'augmente pas indéfiniment. Cela consiste simplement à découvrir la loi de formation de P(Z=k) quel que soit n, à partir du calcul sur quelques valeurs de k. En fait, une vraie récurrence serait sur n, en commençant par n=1, puis n=2 etc pour former P(Z=k) à chaque valeur de n.
Tu peux aussi te placer dans le plan (Ox, Oy) et positionner tous les couples (i,j) de probabilité non nulle, puis faire la somme des probabilités des couples (i, j) tels que i+j=k lorsque n vaut 4 par exemple. Il y a aussi la manipulation des sommes discrètes où il me semble plus facile de se planter.
BYe
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