Bibm@th

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bienvenue dans les forums du site BibM@th, des forums où on dit Bonjour (Bonsoir), Merci, S'il vous plaît...

Vous n'êtes pas identifié(e).

#1 12-03-2009 20:59:30

okmylove
Membre
Inscription : 15-02-2009
Messages : 9

Densité dans l^2

Bonjour à toutes et à tous,
J'aimerais, dans le cadre de mon travail de recherche, démontrer le résultat suivant :
"L'ensemble [tex]\mathcal{F}[/tex] des suites ayant un nombre fini de termes non nuls est dense dans  [tex]\ell^2[/tex]".
Je suppose qu'il faut considérer un élément  [tex](a_n)_{n\geq0}[/tex]  appartenant à [tex]\ell^2[/tex] et montrer qu'il existe une suite [tex](a_{n,k})_{k\geq0}[/tex] appartenant à [tex]\mathcal{F}[/tex] telle que [tex]\lim_{k\rightarrow +\infty}a_{n,k}=a_n[/tex].
Or je n'arrive pas à commencer... Pouvez-vous m'aiguiller s'il vous plait ?
Merci infiniment,

Morgan

Dernière modification par okmylove (12-03-2009 21:02:59)

Hors ligne

#2 12-03-2009 21:18:44

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : Densité dans l^2

Bonjour,

  Tu considères ton élément [tex](a_n)[/tex] de [tex]\ell^2[/tex].
La meilleure façon de l'approcher par des éléments de [tex]\ell^2[/tex] n'ayant qu'un nombre fini de termes
non nul, c'est de la tronquer.
On pose donc
[tex]a_{n,k}=a_n[/tex] si [tex]n\leq k[/tex] et [tex]a_{n,k}=0[/tex] sinon.
A toi de prouver que la suite [tex](a_{n,k})[/tex] converge vers [tex](a_n)[/tex].

Fred.

Hors ligne

#3 13-03-2009 03:47:58

okmylove
Membre
Inscription : 15-02-2009
Messages : 9

Re : Densité dans l^2

Merci, avec ceci, le reste vient tout seul.
Encore merci,
A bientôt,

Morgan

Hors ligne

#4 13-03-2009 04:36:59

okmylove
Membre
Inscription : 15-02-2009
Messages : 9

Re : Densité dans l^2

Re-bonjour,
Maintenant je cherche démontrer quelque chose de plus général :

Soit [tex]\lambda[/tex] la mesure de Lebesgue sur [tex]\mathbb{R}^d[/tex].
Pour [tex]1\leq p<+\infty[/tex], l'espace [tex]\mathcal{C}_c(\mathbb{R}^d)[/tex] des fonctions continues [tex]\mathbb{R}^d\rightarrow\mathbb{K}[/tex], à support compact est dense dans [tex]L^{p}_{\mathbb{K}}(\lambda) [/tex].

La démonstration de ce théorème se trouve dans tous les livres d'intégration, mais dans chaque livre elle est différente et je trouve que les démonstrations sont toutes plus compliquées les unes que les autres.
Savez-vous s'il existe une démonstration "simple" de ce théorème ?
Merci par avance,

Morgan

Hors ligne

#5 14-03-2009 22:23:38

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : Densité dans l^2

Salut,

  Ce n'est pas si facile...parce qu'il faut un peu de théorie de la mesure pour faire cela.
Tu es obligé d'utiliser la densité de certaines fonctions indicatrices par exemple,
puis de les approcher par des fonctions continues.
Il n'y a donc pas de preuve aussi simple.

Fred.

Hors ligne

#6 20-03-2009 15:54:26

okmylove
Membre
Inscription : 15-02-2009
Messages : 9

Re : Densité dans l^2

Merci pour ces précisions

Morgan

Hors ligne

Pied de page des forums