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#1 22-01-2006 20:04:57

soph
Invité

calcul volume d'un cylindre

Bonjour,
je bloque sur l'exercice suivant, ce serait sympa si qqn pouvait m'aider:
calculer le volume d'un cylindre (x^2+Y^2=4) limité par le plan z=0 et un autre plan oblique: x+y+z=2.
Je sais qu'il faut calculer l'intégrale triple mais j'ai un problème pour déterminer le domaine d'intégration: si je passe par les coordonnées cylindriques, j'ai un problème pour le plan oblique, et sinon, c'est encore pire pour l'intégration...
Sinon, pourriez-vous m'indiquer comment on fait pour intégrer (cosa)^3?
Merci d'avance pour votre aide^^

#2 23-01-2006 08:47:48

JJ
Invité

Re : calcul volume d'un cylindre

Il serait très utile de faire un dessin en perspective pour comprendre ce qu'il faut faire. Mais comment mettre un dessin sur le forum ?
En effet, on verrait mieux qu'il ne faut pas intégrer sur toute la surface du disque x^2+y^2<4 et que les bornes de l'intégrale triple sont compliquées à cause de cela.
On verrait que tout devient plus simple si on fait, au préalable, une rotation de pi/4 autour de l'axe 0z.
L'équation du plan devient z=4(k-2x)/(4+k) avec k=racine carrée de 2.
La première intégrale dans l'intégrale triple est :
Somme (pour z=0 à z=4(k-2x)/(4+k)) de dz , ce qui donne :
4(k-2x)/(4+k)) , c'est à dire la hauteur au point de coordonnées (x,y)
La seconde intégrale de l'intégrale triple est
Somme (pour x=-racine(4-x^2) à x=racine(4-x^2)) de dy, ce qui donne :
2racine(4-x^2), c'est à dire la longeur de la corde à l'abscisse x.
Le produit des deux intégrales précédentes est l'aire du rectangle vertical situé à l'abscisse x :
A(x) = 2racine(4-x^2)*4(k-2x)/(4+k)) = 8((4-x^2)racine(4-x^2))/(4+k)
La troisième intégrale est Somme de A(x)dx pour x =-2 à (racine(2))/2 , ce que l'on voit aisément sur la figure (la partie du disque à z=0 correspondant au domaine d'intégration qui part de x=-2 et s'arrète à la droite z=0 et (k-2x)=0 donc x=k/2)
Il faut donc calculer :
(8/(4+k))*Somme de ((4-x^2)racine(4-x^2))dx pour x=-2 à x=k/2
ce qui donne :
(2/(3(2k+1)))(17racine(7)+12pi+24arcsin(k/4))=15,907263

#3 23-01-2006 08:51:50

JJ
Invité

Re : calcul volume d'un cylindre

cos(a)^3 = (cos(3a)+3cos(a))/4
dont on trouve aisément une primitive.

#4 23-01-2006 13:32:37

JJ
Invité

Re : calcul volume d'un cylindre

J'ai fais une erreur dans l'équation du plan après la rotation de 45 degrés.
Il faut donc tout recommencer et heureusement, cela devient encore plus simple :

L'équation du plan devient z=2-kx  avec k=racine carrée de 2.
La première intégrale dans l'intégrale triple est :
Somme (pour z=0 à z=2-kx) de dz , ce qui donne :
2-kx , c'est à dire la hauteur au point de coordonnées (x,y)
La seconde intégrale de l'intégrale triple est
Somme (pour x=-racine(4-x^2) à x=racine(4-x^2)) de dy, ce qui donne :
2racine(4-x^2), c'est à dire la longeur de la corde à l'abscisse x.
Le produit des deux intégrales précédentes est l'aire du rectangle vertical situé à l'abscisse x :
A(x) = 2racine(4-x^2)*(2-kx)
La troisième intégrale est Somme de A(x)dx pour x =-2 à racine(2) , ce que l'on voit aisément sur la figure (la partie du disque à z=0 correspondant au domaine d'intégration qui part de x=-2 et s'arrète à la droite z=0 et (2-kx)=0 donc x=2/k=racine(2)=k
Il faut donc calculer :
2*Somme de (2-kx)racine(4-x^2)dx pour x=-2 à x=k
ce qui donne : = 6pi + (20/3)
.
Remarque : Le résultat précédend est le volume situé au dessus du plan z=0.
Le volume du cylindre limité par les deux plans et qui se trouve en dessous du plan z=0 est :
-2*Somme de (2-kx)racine(4-x^2)dx pour x=k à x=2
ce qui donne : = (20/3) - 2pi
La différence de ces deux volumes vaut donc 8pi.

#5 23-01-2006 15:59:44

JJ
Invité

Re : calcul volume d'un cylindre

#6 09-04-2006 21:12:39

ingrid
Invité

Re : calcul volume d'un cylindre

Bonsoir ; je suis sur un expose sur les integrales j aimerai savoir comment on calcule le volume d une sphere  d’un cone d’un cylindre et d’une pyramide ;merci d’avance

#7 13-09-2006 18:34:36

Jules
Invité

Re : calcul volume d'un cylindre

Salut
5 mois après, tout le monde s'en fou :D

#8 14-09-2006 16:57:02

galdinx
Modo gentil
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Messages : 506
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Re : calcul volume d'un cylindre

en effet lol... il faudrait penser a fermer qqes uns des sujets^^

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