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tibo

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équation différentielle et polynome d'endomorphisme [Résolu]

Bonjour,

Je suis faché avec les équa diff depuis que je connais leurs existence, donc pour une fois j'ose le dire : je ne comprend rien.

1)résoudre dans R:
     y''+y=ch(x)
     y''+y=sh(x)
     =>ça je ne sais absolument pas comment faire
2)soit (H1):y^(4)=y
montrer que f solution de (H1) <=> g=f''+f solution de (H2), equa diff du second ordre que l'on déterminera et résoudra
     =>ça c'est facile, il suffit de remarquer que g''-g=f^(4)-f
          et la réslution est connue
3)En déduire les solutions de (H1)
     =>sans le 1), j'ai un peu de mal

La suite change de domaine mais je pense que ça va ensemble quand même
Soit E sev des applications [tex]C^[\infty][/tex] engendré par (cos, sin, ch, sh)
4)dim(E)=?
     =>4 je suppose
          la famille est génératrice par définition
          il suffit de montrer qu'elle est libre...ya qu'à...
5)Justifier que la dérivation induit sur E un endomorphisme d
     =>[i]immédiat en montrant la stabilité[\i]
6)Déterminer le polynome minimal de d dans E.
     =>??? comment suis-je censé le deviner???

Dernière modification par tibo (23-02-2009 11:54:18)

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cléopatre

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Re : équation différentielle et polynome d'endomorphisme [Résolu]

Bonjour Tibo,

Pour la 1), tu as déjà la solution particulière évidente qui est respectivement ch/2 et sh/2. Après il te suffit de résoudre les equadiff homogènes : y''+y=0 de solution y=a*exp(-ix)+b*exp(ix). Puis tu sommes les deux : solution particulière et solution homogène.

Voilà pour que tu puisse faire la 3...

Pour la 4) il te suffit de démontré que la famille exp((ai)x) est libre. Je ne sais pas trop si tu sais comment faire. Essaie de partir de la démonstration banale. Je sais qu'en se rattachant au déterminant de Vandermonde on y arrive bien. Tente de le faire apparaître.

A mon avis ton polynome minimal n'a pas rien a voir avec la question 2)... du genre X^4-1... Si tu regarde bien en plus essaie de remplacer cos, sin, ch et sh dans y^4-y et tu trouvera 0 ! C'est drolerement étrange tout cela. Essaie de voir pourquoi...

Bon je te laisse travailler tranquilement.
Je reviens probablement samedi au pire des cas.
D'ici là, je fais confiance aux bibmatheux pour te répondre.

Bises de Cléo

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Fred

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Re : équation différentielle et polynome d'endomorphisme [Résolu]

Salut,

  Pour compléter le message de Cléopatre, et pour la première partie de l'exercice, tu peux te reporter à
http://www.bibmath.net/formulaire/index.php3
Il y a un formulaire qui résume comment résoudre de nombreuses équations différentielles usuelles.

Fred.

tibo

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Re : équation différentielle et polynome d'endomorphisme [Résolu]

merci à tout les deux

je ne connais pas le déterminant de Vandermonde, mais maintenant que j'y pense j'ai déja vu cet exo qq part.
je vois ça et j'essaye de reposter ce soir ou demain

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