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#1 18-02-2009 03:30:09

luz
Invité

operateur O + ...

Bonjour!!

petits (gros?) problemes de comprehension d'une demo math.........  si vous pouviez m'eclairer, je vous en serai, as usual, tres reconnaissante :)

le contexte c'est le calcul du max de vraisemblance pour estimer l'exposant alpha d'une loi puissance avec des donnees discretes

on a:

[tex] \int_{x_{min}-\frac{1}{2}}^{+\infty} t^{-\alpha} dt = \frac{\left(x_{min}-\frac{1}{2}\right)^{-\alpha+1}}{\alpha - 1}     [/tex] (1)

et

[tex] \int_{x_{min}-\frac{1}{2}}^{+\infty} t^{-\alpha} dt =  \sum_{x=x_{min}}^{\infty} x^{-\alpha} + \frac{\alpha(\alpha+1)}{24} \sum_{x=x_{min}}^{\infty} x^{-\alpha-2} + ...  [/tex]

soit [tex] \int_{x_{min}-\frac{1}{2}}^{+\infty} t^{-\alpha} dt = \zeta(\alpha,x_{min})[1 + O(x_{min}^{-2})]  [/tex] (2)

avec zeta la fonction zeta d'hurwitz telle que [tex] \zeta(\alpha,x_{min})=  \sum_{k=0}^{\infty} (k+x_{min})^{-\alpha} [/tex]

et de (1) et (2) on en deduit

[tex] \zeta(\alpha,x_{min}) = \frac{\left(x_{min}-\frac{1}{2}\right)^{-\alpha+1}}{\alpha - 1} [1 + O(x_{min}^{-2})]
[/tex]

puis on derive cette equation par rapport a alpha et on obtient

[tex] \zeta'(\alpha,x_{min}) = - \frac{\left(x_{min}-\frac{1}{2}\right)^{-\alpha+1}}{\alpha - 1} \left[ \frac{1}{\alpha -1} + ln (x_{min} - \frac{1}{2})      \right]  [1 + O(x_{min}^{-2})]   [/tex]


Mon premier probleme c'est [tex] O(x_{min}^{-2})  [/tex], ce O n'est defini a aucun endroit et j'ai cherche sur le net je n'ai pas trouve non plus... j'imagine donc qu'il est juste inherent a ce calcul, et dans tous les cas je comprends pas a quoi il est egal.... et puis je ne vois pas comment on peut factoriser par zeta non plus....

Le deuxieme probleme est surement plus simple, qud je derive zeta j'arrive presque au meme resultat a une erreur de signe pret, que je n'arrive pas a corriger....

je me sers de [tex] (a^x)'=a^x ln a [/tex] et de  [tex] (\frac{f}{g})'= \frac{f'g-g'f}{g^2} [/tex]

mais trouve  [tex] \zeta'(\alpha,x_{min}) =  \frac{\left(x_{min}-\frac{1}{2}\right)^{-\alpha+1}}{\alpha - 1} \left[ - \frac{1}{\alpha -1} + ln (x_{min} - \frac{1}{2})      \right]  [1 + O(x_{min}^{-2})]   [/tex]



le dernier probleme concerne toujours la fonction zeta,
plus loin dans le calcul j'ai une equivalence style:

[tex] \zeta(\alpha,x_{min}) = \zeta(\alpha) - \sum_{x=1}^{x_{min}} x^{-\alpha}} [/tex]

or je ne vois pas comment c'est possible? (j'ai cherche sur le net encore pour voir si ce genre d'equivalence pouvait s'expliquer par des theoremes ou autres mais je n'ai rien trouve.......)


merci d'avance pour toute aide apportee
bonne journee
luZ

#2 18-02-2009 12:30:04

Ben3_14
Membre
Inscription : 18-02-2009
Messages : 3

Re : operateur O + ...

Bonjour,

Les symboles  [tex] O(X) [/tex] "grand o de X" et [tex]  o(C) [/tex] "petit o de X" sont trés souvent utilisés dans les calculs d'approximations

=> [tex] O(X)[/tex]désigne toute fonction de X telle que la fonction [tex]{O(X)\over X} [/tex] RESTE BORNEE 
=> [tex] o(X)[/tex]désigne toute fonction de X telle que la fonction [tex]{o(X)\over X} [/tex] TENDE VERS ZERO

EXEMPLE :
On sait que : [tex] (1+x)^5=1+5x+10x^2+10x^3+5x^4+x^5[/tex]
Lorsque [tex]x\rightarrow 0 [/tex], on a le droit d'écrire :
            [tex](1+x)^5=1+5x+O(x^2) [/tex] car [tex]{10x^2+10x^3+5x^4+x^5\over x^2} [/tex] reste borné lorsque [tex]x\rightarrow 0 [/tex]
ou bien [tex](1+x)^5=1+5x+o(x) [/tex] car [tex]{10x^2+10x^3+5x^4+x^5\over x} [/tex] tend vers zéro lorsque [tex]x\rightarrow 0 [/tex]
ou bien [tex](1+x)^5=1+5x+10x^2+O(x^3) [/tex] car [tex]{10x^3+5x^4+x^5\over x^3} [/tex] reste borné lorsque [tex]x\rightarrow 0 [/tex]
ou bien [tex](1+x)^5=1+5x+10x^2+o(x^2) [/tex] car [tex]{10x^3+5x^4+x^5\over x^2} [/tex] tend vers zéro lorsque [tex]x\rightarrow 0 [/tex]
Lorsque [tex]x\rightarrow\infty [/tex], on a le droit d'écrire :
            [tex](1+x)^5=x^5+5x^4+10x^3+O(x^2) [/tex] car [tex]{10x^2+5x+1\over x^2} [/tex] reste borné lorsque [tex]x\rightarrow \infty [/tex]
ou bien [tex](1+x)^5=x^5+5x^4+10x^3+o(x^3) [/tex] car [tex]{10x^2+5x+1\over x^3} [/tex] tend vers zéro lorsque [tex]x\rightarrow \infty [/tex]


Dans ton texte, [tex] O(x_{min}^{-2})[/tex] désigne donc une certaine fonction dépendant de $x_{min}$ (et sans doute de [tex]\alpha[/tex]) telle que, si on la divise par [tex]x_{min}^{-2}[/tex], le résultat reste borné lorsque [tex] x_{\min}[/tex] tend vers une certaine valeur. Vu le contexte, je pense que c'est lorsque [tex]x_{min}\rightarrow\infty[/tex] mais dans une redaction "propre", CELA DEVRAIT ABSOLUMENT ETRE PRECISE lorsque l'on utilise les notations "grand o" ou "petit o".

Ton texte devrait aussi préciser ou sont [tex]x_{min}[/tex] et [tex]\alpha[/tex] : au vu de la première ligne, je pense que [tex]x_{min}[/tex] est un réel strictement supérieur à 1/2 et [tex]\alpha[/tex] un réel strictement plus grand que 1.
Or, dans ce contexte, je ne vois pas ce que peut signifier dans la deuxième ligne une somme pour [tex]x[/tex] variant de [tex]x_{min}[/tex] à [tex]\infty[/tex]...   ton [tex]x_{min}[\tex] est-il entier ? (si oui, je ne vois pas plus loin comment tu peut dériver par rapport à une variable entière...)


[tex] [/tex]

Hors ligne

#3 18-02-2009 23:11:09

luz
Invité

Re : operateur O + ...

Salut Ben

merci bcp pour les explications sur "O", c'est tout de suite plus clair!
effectivement, ces equations sont ecrites pour x_min>1 et alpha>1. Il n'est pas marque dans l'article si x_min est un entier, mais vu que ce sont des variables discretes j'imagine que oui?

(pour info, en fait j''essaye de comprendre un article scientique par Clauset et al 2007 (app B.4) traitant des lois puissances dans les donnees empiriques: on peut le trouver la: http://arxiv.org/abs/0706.1062 (je sais pas si le pdf est accessible par tous, vu que perso je suis connectee depuis une universite - ayant achete des acces a des journaux scientifiques, donc))

sinon

Ben3_14 a écrit :

Or, dans ce contexte, je ne vois pas ce que peut signifier dans la deuxième ligne une somme pour [tex]x[/tex] variant de [tex]x_{min}[/tex] à [tex]\infty[/tex]...   ton [tex]x_{min}[/tex] est-il entier? (si oui, je ne vois pas plus loin comment tu peut dériver par rapport à une variable entière...)

apres relecture, je crois que les auteurs font une approximation type entiers = reels approximes a l'entier le plus proche (la formule exacte est "true power law distributed integers are approximated as continuous reals rounded to the nearest integer")
du coup on a le droit de faire cette somme, non?
et du coup on peut deriver par rapport a une variable entiere? (la moi je sais pas du tout, mes connaissances en maths sont trop limitees, je ne vois mm pas ou est le pb :-/ )


enfin je me permets de resoulever les deux derniers pbs

luz a écrit :

de (1) et (2) on en deduit

[tex] \zeta(\alpha,x_{min}) = \frac{\left(x_{min}-\frac{1}{2}\right)^{-\alpha+1}}{\alpha - 1} [1 + O(x_{min}^{-2})]
[/tex]

puis on derive cette equation par rapport a alpha et on obtient

[tex] \zeta'(\alpha,x_{min}) = - \frac{\left(x_{min}-\frac{1}{2}\right)^{-\alpha+1}}{\alpha - 1} \left[ \frac{1}{\alpha -1} + ln (x_{min} - \frac{1}{2})      \right]  [1 + O(x_{min}^{-2})]   [/tex]

[...]

mais trouve  [tex] \zeta'(\alpha,x_{min}) =  \frac{\left(x_{min}-\frac{1}{2}\right)^{-\alpha+1}}{\alpha - 1} \left[ - \frac{1}{\alpha -1} + ln (x_{min} - \frac{1}{2})      \right]  [1 + O(x_{min}^{-2})]   [/tex]

ET

le dernier probleme concerne toujours la fonction zeta,
plus loin dans le calcul (en fait c'est dans l'algorithme de calcul sous matlab)  j'ai une equivalence style:

[tex] \zeta(\alpha,x_{min}) = \zeta(\alpha) - \sum_{x=1}^{x_{min}} x^{-\alpha}} [/tex]

voila, merci bcp.
bonne soiree/nuit!!

Luz

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