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#1 16-02-2009 21:16:04

Pitchoueco
Invité

Espace tangent 2! [Résolu]

D'accord "yoshi et merci d'avoir repondu à mon message !
Soient [tex] M [/tex] et [tex] N [/tex] deux variétés de classes : [tex] \mathcal{C}^{r} [/tex].
Soit : [tex] f : M \longrightarrow N [/tex] une application de classe [tex] \mathcal{C}^{1} [/tex] en un point [tex] x_{0} \in M [/tex].
Je voudrai savoir pourquoi l'application : [tex] T_{x_{0}} f : T_{x_{0}} M \longrightarrow T_{f(x_{0})}N [/tex] telle que : [tex] T_{x_{0}} f ([U,\varphi , x , v]) = [V,\psi, f(x) , d(\psi \circ f \circ \varphi^{-1})_{\varphi(x)}(v)] [/tex] ne dépend pas du choix des cartes : [tex] (U,\varphi) [/tex] et [tex] (V,\psi) $[/tex] de [tex] M [/tex] et [tex] N [/tex] respectivement en [tex] x_{0} [/tex] et [tex] f(x_{0}) [/tex] avec , biensûr : [tex] f(U) \subset V [/tex].
D'abord :
Définition  : 
Un vecteur tangent à [tex] M [/tex] est une classe d'équivalence des quadruplets [tex] (U,\varphi,x,v) [/tex] pour la relation d'équivalence :
[tex] (U,\varphi,x,v) \sim (U{'},\varphi{'},x{'},v{'}) \ \Longleftrightarrow \ x = x{'} \ \wedge \ d(\varphi \circ \varphi{'}^{-1})_{\varphi (x)}(v) = v{'} [/tex
Pour celà on prend : [tex] ( (U,\varphi) \neq (U',\varphi{'}) [/tex] et [tex] (V,\phi) \neq (V',\phi{'}) [/tex] et essaye de verifier si :  [tex] d(\psi' \circ f \circ \varphi'^{-1})_{\varphi'(x)}(v)=d(\psi \circ f \circ \varphi^{-1})_{\varphi(x)}(v)[/tex]Voiçi donc, comment je procède :
[tex] d(\psi{'} \circ f \circ \varphi{'}^{-1})_{\varphi{'}(x)} = d\psi{'}_{f(x)} \circ d f_{x} \circ d \varphi{'}^{-1}_{\varphi{'}(x)} = d \psi{'}_{f(x)} \circ d f_{x} \circ [d\varphi{'}_{x}]^{-1} [/tex]
Et :
[tex] d(\psi \circ f \circ \varphi^{-1})_{\varphi(x)} = d\psi_{f(x)} \circ d f_{x} \circ d \varphi^{-1}_{\varphi(x)} = d \psi_{f(x)} \circ d f_{x} \circ [d\varphi_{x}]^{-1} [/tex]
Il faut montrer sque :
[tex] (d \psi{'}_{f(x)} \circ d f_{x} \circ [d\varphi{'}_{x}]^{-1}) \circ [d \psi_{f(x)} \circ d f_{x} \circ [d\varphi_{x}]^{-1}]^{-1} = \mathrm{id} [/tex]
Et là je ne vois pas comment faire :
[tex] (d \psi{'}_{f(x)} \circ d f_{x} \circ [d\varphi{'}_{x}]^{-1}) \circ [d \psi_{f(x)} \circ d f_{x} \circ [d\varphi_{x}]^{-1}]^{-1} = d \psi{'}_{f(x)} \circ d f_{x} \circ [d\varphi{'}_{x}]^{-1} \circ d\varphi_{x} \circ [d f_{x}]^{-1} \circ [d \psi_{f(x)}]^{-1} [/tex]
Qelqu'un peut-t-il me donner un coup de pouce ?
Merci infiniment!

#2 17-02-2009 22:29:57

Pitchoeuco
Invité

Re : Espace tangent 2! [Résolu]

Je remonte ce fil pour voir si quelq'un a une reponse !
Amicalement !

#3 18-02-2009 12:45:57

Ben3_14
Membre
Inscription : 18-02-2009
Messages : 3

Re : Espace tangent 2! [Résolu]

Il me semble que, quand tu écrit "et on essaye de vérifier si  ...", il y a une erreur dans le terme de gauche :
vu la définition des "classes" pour les vecteurs, il ne faut pas appliquer la différentielle au vecteur v mais au vecteur v' de ta définition ci dessus.  Normalement, le résultat "coule de source", c'est à dire ne provient que des formules de différentiations des fonctions composées.

Hors ligne

#4 18-02-2009 17:58:20

Pitchoueco
Invité

Re : Espace tangent 2! [Résolu]

Oui, mais je n'arrive pas à le montrer "Ben", tu peux m'eclaircir un peu plus ce point là ?
Merci infiniment !

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