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#1 09-02-2009 21:42:05

bouhlel007
Membre
Inscription : 02-10-2008
Messages : 9

uniforme continue [Résolu]

bonsoir tout le monde,j ai deux questions a propos l uniforme continuite


1// f fonction continue sur ]0,1[ dans R. montrer que,si f est uniformement continue,elle est bornee.reciproque?

2// soit f une fonction uniformement continue sur R telle que  integrale entre 0 et + infini de f(t) converge

montrer que f tend vers 0 lorsque x tend vers + infini. retrouver ainsi le fait que la fonction sin(x²) n est pas uniformement continue



merci de me repondre le plus vite possible

Hors ligne

#2 10-02-2009 09:32:40

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : uniforme continue [Résolu]

Bonjour bouhlel007,

1//

  Pour [tex]\varepsilon=1[/tex], tu sais qu'il existe [tex]\alpha>0[/tex] tel que
[tex]|x-y|<\alpha\implies |f(x)-f(y)|<1 [/tex].

Tu partages l'intervalle ]0,1[ en
[tex] ]0,\alpha]\cup [\alpha,2\alpha]\cup [2\alpha,3\alpha]\cup...[n\alpha,1[[/tex]
avec n tel que [tex](n+1)\alpha\geq 1[/tex].

Pour chaque petit intervalle, tu prends un point [tex]x_i[/tex] dedans. Je te laisse prouver
que [tex] |f(x)|\leq \max(|f(x_1)|,\dots,|f(x_n)|)+1[/tex],
en utilisant bien sûr le choix de [tex]\alpha[/tex].

Pour la réciproque, regarde la fonction sin(1/x). Est-elle uniformément continue en 0????

2// Tu dois écrire si f ne tend pas vers 0, alors il existe une suite (x_n) telle que |f(x_n)|>=1 et (x_n) tend vers l'infini.
Par uniforme continuité (appliquée avec epsilon=1/2), sur un intervalle du type [x_n-alpha,x_n+alpha], on aura toujours |f(x_n)|>=1/2.
Ceci va contredire le critère de Cauchy.

Tu sais, en général, sur un forum, les gens répondent toujours le plus vite possible!

Fred.

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#3 10-02-2009 12:09:19

issian
Membre
Inscription : 10-02-2009
Messages : 1

Re : uniforme continue [Résolu]

désolé... bonjour je n'ai pas de réponse & essaye de trouver où poser ma question qui a une facture pour objet (vie réelle). Merci pour répondre

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#4 10-02-2009 13:48:31

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 16 947

Re : uniforme continue [Résolu]

Bonjour,

Désolé, moi aussi...
Se tromper de forum pur poster n'est pas bien grave, un modérateur le déplacera...
Par contre, poster sa question à la suite d'une discussion avec laquelle elle n'a rien à voir, c'est plus gênant...
Dépèche-toi de poster dans Entraide Collège/Lycée ou Café mathématique par exemple, que je puisse supprimer ton post et le mien : ce sera fait ce soir !

@+


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

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#5 10-02-2009 15:55:03

bouhlel007
Membre
Inscription : 02-10-2008
Messages : 9

Re : uniforme continue [Résolu]

Fred a écrit :

Bonjour bouhlel007,

1//

  Pour [tex]\varepsilon=1[/tex], tu sais qu'il existe [tex]\alpha>0[/tex] tel que
[tex]|x-y|<\alpha\implies |f(x)-f(y)|<1 [/tex].

Tu partages l'intervalle ]0,1[ en
[tex] ]0,\alpha]\cup [\alpha,2\alpha]\cup [2\alpha,3\alpha]\cup...[n\alpha,1[[/tex]
avec n tel que [tex](n+1)\alpha\geq 1[/tex].

Pour chaque petit intervalle, tu prends un point [tex]x_i[/tex] dedans. Je te laisse prouver
que [tex] |f(x)|\leq \max(|f(x_1)|,\dots,|f(x_n)|)+1[/tex],
en utilisant bien sûr le choix de [tex]\alpha[/tex].

Pour la réciproque, regarde la fonction sin(1/x). Est-elle uniformément continue en 0????

2// Tu dois écrire si f ne tend pas vers 0, alors il existe une suite (x_n) telle que |f(x_n)|>=1 et (x_n) tend vers l'infini.
Par uniforme continuité (appliquée avec epsilon=1/2), sur un intervalle du type [x_n-alpha,x_n+alpha], on aura toujours |f(x_n)|>=1/2.
Ceci va contredire le critère de Cauchy.

Tu sais, en général, sur un forum, les gens répondent toujours le plus vite possible!

Fred.

bonjour

votre demo pour la question 2,j ai pas bien compri,si vous pouvez expliciter un peut plus vos calculs et vos arguments merci

Dernière modification par bouhlel007 (10-02-2009 15:56:05)

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#6 10-02-2009 17:35:23

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : uniforme continue [Résolu]

Bonjour,

  Je dis simplement la chose suivante :

si f ne tend pas vers 0 et f est uniformément continue,
alors il existe une suite [tex](x_n)[/tex] qui tend vers +oo et un réel a>0
tels que, [tex]x\in [x_n-\alpha,x_n+\alpha] \implies f(x)\geq 1[/tex]

Je te laisse réfléchir un peu à pourquoi cela est vrai (le but c'est que tu réfléchisses, pas que je te fasse ton exo...,
mais construis déjà une suite x_n avec f(x_n)>2.... évidemment, il peut y avoir un pb de signe, mais passons....)

Ceci va contredire la convergence de l'intégrale de f (pourquoi???? Et si on utilisait le critère de Cauchy).

Fred.

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