Forum de mathématiques - Bibm@th.net

dani94

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fonction borélienne particulière [Résolu]

Bonjour,
Je dois trouver un exemple d'espace mesurable (E,T) et de fonction f: E -> R qui ne pas soit borélienne mais telle que son module le soit.
Je n'ai pas de piste de départ.... Merci de votre aide!

Fred

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Re : fonction borélienne particulière [Résolu]

Bonjour Dani94,

  Je vais te donner une piste.
Tu prends n'importe quel espace mesurable (E,T)
tel que tous les ensembles ne sont pas mesurables.
Tu prends A un tel ensemble non mesurable.

Tu construis ensuite une fonction
-dont le module est constant : tu es sûr que |f| est mesurable
-telle que [tex]f^{-1}(\{1\})=A[/tex], et donc f n'est pas mesurable.

Fred.

PS : Un conseil, valable dans ce forum comme dans tout forum d'entraide.
Lors qu'on répond à une de tes questions, il est bienvenue d'écrire un petit
mot de remerciements...

dani94

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Re : fonction borélienne particulière [Résolu]

Ok je pense à la fonction f(x) = la fonction indicatrice sur R*+ moins la fonction indicatice sur R-. Elle vaut 1 si x>0 et -1 si x0.
Donc son module vaut la fonction indicatrice sur R , cad 1.
Si on prend T comme tribu contenant les deux élèments le vide et R, alors si B R, la fonction réciproque du module de f appliqué à B donne le vide si 1  n'appartient pas à B, et R sinon.
Ce qui montre que le module de f est mesurable.
Mais par contre je ne vois pas en quoi f ne l'est pas ?????

Fred

Administrateur

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Re : fonction borélienne particulière [Résolu]

Bonsoir,

  Parce que [tex]f^{-1}(\{1\})=]0,+\infty[ [/tex]qui n'est pas un ensemble mesurable car ce n'est pas un ensemble de la tribu, alors que {-1} est un borélien.

Fred.

Remarque : C'est une très bonne idée de considérer la tribu que tu proposes!

dani94

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Re : fonction borélienne particulière [Résolu]

ok, merci!