equation différentielle [Résolu]

tibo · 31-01-2009 18:04:11

Bonjour,

Lors d'un problème de physique, je tombe sur une équation différentielle que voici:
[tex]\frac {\delta f}{\delta t} - K.f(t)=P(1+cos(w.t))-K.T[/tex]
d'inconnue f avec K, P, w et T des constantes connues.
, et que je dois résoudre.

Certe, ce n'est qu'une équa diff du premier ordre sous sa forme la plus "simple", mais les équa diff n'ont jamais été mon fort.

Je ne trouve pas de solution particulière. Ca ne ressemble à aucun cas particulier du cours, j'ai donc tenté la méthode de variation de la constante.
Et j'obtiens un truc assez ignoble, long et très fastidieux. Etant un problème de physique et non de math, je doute que ce soit la bonne méthode.

De plus je n'ai jamais compris exactement en quoi consistait la méthode la variation de la constante, donc il y a surement pleins d'erreur qui se sont glissées dans mon calcul.

Dernière modification par tibo (31-01-2009 18:04:56)

Roro · 31-01-2009 19:25:31

Bonjour Tibo,

Tu peux chercher une solution particulière sous la forme
[tex]f(t) = a \cos(\omega t) + b \sin(\omega t) + c \quad (a,b,c)\in \mathbb R^3.[/tex]

Evidemment si je ne t'en dis pas plus, tu me diras que ça marche (je l'espère) mais tu ne seras pas beaucoup plus avancé !

En fait pour trouver cette forme de fonction, j'ai utilisé essentiellement deux arguments :
• Le premier c'est ce qui s'appelle le principe de superposition : si le second membre de ton équation est une somme de deux termes P1 + P2 alors tu peux résoudre ton équation en ne considérant que P1 (je note f1 une solution) puis en ne considérant que P2 (je note f2 une solution), une solution de l'équation complète sera f1+f2. Ce raisonnement est valable dès que tu as à faire à une équation différentielle linéaire, quelque soit son ordre.
• Le second est un peu plus "trucs et astuces" mais tu dois savoir (cf cours) que si le second membre a une forme particulière alors on peut chercher des solutions avec la "même" forme. Ce qu'il est utile de retenir c'est surtout qu'il y a des espaces vectoriels de fonctions qui sont stables par dérivation, ainsi le sous espace vectoriel engendré par la famille [tex]\{\cos,\sin\}[/tex] est stable par dérivation (si tu dérives une fonction dans cet espace alors tu trouves une autre fonction de cet espace). Par conséquent, lorsqu'il y a un cosinus au second membre, tu peux essayer de chercher une solution comme combinaison de cosinus et de sinus. De la même manière, l'espace vectoriel des polynômes est stable par dérivation, c'est pourquoi lorsque le second membre est un polynôme (par exemple une constante) on peut être tenté de chercher une solution sous la forme d'un polynôme (par exemple d'une constante)...

N'hésite pas à reposter si je n'ai pas été assez clair.

Roro.

tibo · 31-01-2009 19:44:29

Merci, c'est très clair.

Je ne sais pas comment j'ai fait pour ne pas y penser
J'ai cherché des solutions de la forme f=a.cos(wt)+b ou bien f=a.sin(wt)+b, mais je n'ai même pas pensé à additionner.

En plus, c'est classique comme méthode... franchement j'abuse là
Merci encore

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#1 31-01-2009 18:04:11

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