les systemes differentiels periodiques [Résolu]

roz · 22-01-2009 15:43:31

SLT MES AMIS SVP AIDEZ MOI SUR CE PROBLEME:

" Voila le system lineaire: x'=A(t).X(t)
Et tel que A(t) une matrice carre(n*n) et X(t)un vecteur reel et t aussi
Et on suppose que A(t+T)=A(t) c'est a dire que A(t) est periodique et de periode T
1. on veut montrer que si M(t) est une matrice fondamentale, il existe une matrice C tel que :
M(t+kT)= M(t). C^K
2. on montre que les valeurs propres de C ne dependent pas du choix de M(t)
3. montrons que pour chaque valeur propre p de C, il existe une solution S(t) du systeme precedent verifiant : S(t+T)= p .S(t) "

Dernière modification par roz (22-01-2009 16:10:48)

Fred · 22-01-2009 17:00:34

Salut,

Qu'est-ce que c'est une matrice fondamentale?

Fred.

Fred · 22-01-2009 19:23:40

Re-

Je me réponds à moi-même. Si (u_1,...,u_n) est une base de solutions de l'équations différentielles, alors une matrice fondamentale M(t) est définie comme la matrice fondamentale dont les colonnes sont (u_1(t),...,u_n(t)).

Fred.

Roro · 22-01-2009 21:50:30

Bonjour,

Effectivement une matrice fondamentale est une matrice dont les vecteurs colonnes forment une base de l'ensemble des solutions de l'équation.
En fait, on peut montrer (assez facilement !) que M(t) est une matrice fondamentale si et seulement si M'(t)=A(t)M(t) pour tout t et M(t) est inversible pour tout t.
On peut même montrer (et ce sera utile pour la suite...) que c'est équivalent à M'(t)=A(t)M(t) pour tout t et M(t) est inversible pour UN réel t.

Pour en venir à la question de roz, une question préliminaire serait peut être de montrer que si on connait une matrice fondamentale M(t) alors l'ensemble de toutes les matrices fondamentales est l'ensemble des M(t)C où C parcours l'ensemble des matrices inversibles (indépendantes du temps).

Une fois que l'on sait ça, la première question est "simple" :

On considère M(t) une matrice fondamentale et on pose U(t)=M(t+T). On sait alors que U(t) est inversible et que
[tex]U'(t) = M'(t+T) = A(t+T)M(t+T) = A(t)U(t)[/tex]
et donc U(t) est aussi une matrice fondamentale, elle est par conséquent de la forme M(t)C :
[tex]M(t+T)=M(t)C[/tex]
La relation pour tout entier naturel k s'en déduit par récurrence (car C ne dépend pas de t...).

Comme je ne sais pas du tout à quel endroit roz est coincé... je m'arrête ici : il y a déjà pas mal de choses à montrer !

Roro.

P.S. J'imagine que l'application [tex]t\mapsto A(t)[/tex] est continue...

roz · 23-01-2009 13:57:57

bjr merci roro voila c bien qu'est ce que je veux savoir,mais stp comment on montre que les valeurs propres de C ne dependent pas du choix de M(t).

Dernière modification par roz (23-01-2009 14:09:04)

Roro · 24-01-2009 00:12:19

Bonsoir,

Je voudrais bien t'aider mais je ne pense pas que te donner une solution "toute faite" serve à te faire comprendre comment on y arrive... et ce n'est pas, me semble-t-il, l'esprit de ce forum.

Est ce que tu as réussi à démontrer rigoureusement la question 1 ?
Si c'est le cas, la seconde question est plus facile. Une indication : deux matrices semblables ont mêmes valeurs propres.

Bon courage,
Roro.

roz · 14-02-2009 17:48:58

re
je m'excuse pour cette absence,bref merci bien parce que vous avez vraiment m'aidé.et j'ai reussi a comprendre et resoudre le probleme a+

Dernière modification par roz (14-02-2009 17:50:10)

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#1 22-01-2009 15:43:31

les systemes differentiels periodiques [Résolu]

#2 22-01-2009 17:00:34

Re : les systemes differentiels periodiques [Résolu]

#3 22-01-2009 19:23:40

Re : les systemes differentiels periodiques [Résolu]

#4 22-01-2009 21:50:30

Re : les systemes differentiels periodiques [Résolu]

#5 23-01-2009 13:57:57

Re : les systemes differentiels periodiques [Résolu]

#6 24-01-2009 00:12:19

Re : les systemes differentiels periodiques [Résolu]

#7 14-02-2009 17:48:58

Re : les systemes differentiels periodiques [Résolu]

Pied de page des forums