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#1 10-01-2009 17:52:13

cléopatre
Membre active
Inscription : 24-10-2006
Messages : 359

Equa diff [Résolu]

Bonjour à tous !

J'ai une question qui me vient à l'esprit.
Prenons une equadiff linéaire du type Y'=AY avec A cste non forcément diagonalisable et Y de I intervalle de R dans E de dim finie n.
On a le polynome caractéristique de A = (X-K)^n et dim Ker A = |I|=1.
Si on prend x dans E et non dans ker(A-KI)^(n-1), on a forcément (x, (A-KI)x,.., (A-KI)^(n-1)x) base de E.
La question est simple pourquoi c'est une base ?

Je pense que cette question est plus simple que la dernier en proba impossible...lol

Bises de Cléo


<-- cleopatre -- 19 ans -- débutante mais amoureuse des maths -->
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#2 10-01-2009 18:57:29

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : Equa diff [Résolu]

Bonsoir,

  C'est plus simple, effectivement, et assez classique. Il suffit de montrer que c'est une famille libre.
Si on a une relation de liaison
[tex]\lambda_1 x+\dots+\lambda_{n-1}(A-KI)^{n-1}x=0[/tex],
on compose par (A-KI)^{n-1}. On sait (le polynôme caractéristique est annulateur) que
(A-KI)^n=0. On obtient donc
[tex]\lambda_1 (A-KI)^{n-1}x=0\implies\lambda_1=0[/tex].
On compose ensuite par [tex](A-KI)^{n-2}[/tex], etc...

J'imagine que tu voulais écrire dim Ker(A-KI)=1.

Question subsidiaire : pourquoi est-on sûr qu'il existe un tel x (ou encore que le noyau
de Ker(A-KI)^{n-1} n'est pas E tout entier?

A+
Fred.

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#3 18-01-2009 12:10:08

cléopatre
Membre active
Inscription : 24-10-2006
Messages : 359

Re : Equa diff [Résolu]

Bonjour Fred !

Merci de m'avoir répondu...
Oui alors cela vient du théorème de l'escalier. Si dim Ker u=1 et u nilpotente alors l'indice de nilpotence est exactement n... Donc dim ker u^{n-1} est différent de E.

Si tu veux que je t'écrive une démosntration, je te le ferais... (interogation surprise). Cela consiste à utiliser pour une inégalité <=n les noyaux itérés et de l'autre sens le théorème de la composition. Je ne sais pas vriament si tu le monde l'appelle comme cela mais il dit : dim (u^n) <= (dim u)^n. Il se démontre en utilisant surtout le théorème du rang et en considérant des restrictions...

Voilà Fred !
Bisous de Cléo ;)


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