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tevuac

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Convergence d'une suite [Résolu]

Bonsoir

[tex]{\frac{{\left(n+1\right)}^{2}}{n\left(n+2\right)}}^{n}[/tex]

En previsualisation , je constate qu'il manque de grandes parenthèses: c'est la puissance n -ième de.....

il semble , pour le correcteur de la deuxième épreuve de l'agregation interne 2008, que cette suite tend de façon évidente vers 1. Pourquoi peut-on admettre ce résultat? Cela provient-il d'une règle générale qui m'échappe?

J'ai une idée de démonstration avec prenant le logarithme mais tout cela est confus pour moi.

Peut-on éviter les DLS? ( un conseil de cours me rendrait service). Je ne les maitrise pas tellement.

Merci par avance

Dernière modification par tevuac (22-12-2008 01:28:19)

JJ

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Re : Convergence d'une suite [Résolu]

Bonjour,

je suppose qu'il s'agit de
u = [(n+1)²/n(n+2)]^n
u = [(n²+2n+1)/(n²+2n)]^n
u = [1+(1/(n²+2n))]^n
[1+(1/(n²+2n))]^n < [1+(1/n²)]^n
donc 1 < u < [1+(1/n²)]^n
Dans la permière version de mon message, il y avait une grossière erreur dans les lignes qui suivaient. Cette erreur a été corrigée dans les lignes suivantes :
ln((1+x)^n) = n*ln(1+x)
avec x>0 on a : ln(1+x) < x
donc ln((1+x)^n) < n*x
(1+x)^n < exp(n*x)
avec x=1/n² :  [1+(1/n²)]^n < exp(n*(1/n²))
[1+(1/n²)]^n < exp(1/n)
donc 1 < u < exp(1/n)
lorsque n tend vers l'infini, exp(1/n) tend vers exp(0)=1
Donc u tend vers 1 lorsque n tend vers l'infini.

Dernière modification par JJ (22-12-2008 18:15:49)

tevuac

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Re : Convergence d'une suite [Résolu]

Merci pour ton aide et bonnes fêtes.

yoshi

Modo Ferox

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Re : Convergence d'une suite [Résolu]

Bonsoir,

un petit point de technique...

[tex]\left[{\frac{{\left(n+1\right)}^{2}}{n\left(n+2\right)}}\right]^{n}[/tex]
Comme ça, c'est mieux, n'est-ce pas ?

Tu peux toujours reprendre le code issu de "Insérer une équation", à la main :
J'ai simplement ajouté au début   \left[  et  à la fin, juste avant le ^n : \right]...
Ton code :                    {\frac{{\left(n+1\right)}^{2}}{n\left(n+2\right)}}^{n}
Le code corrigé :    \left[{\frac{{\left(n+1\right)}^{2}}{n\left(n+2\right)}}\right]^{n}

@+

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