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cléopatre

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Réduction des matrices et des endomorphismes [Résolu]

Bonjour à tous,

Je commence un peu mes révisions et j'arrive à pas mal de truc flou et cela m'énerve. C'est surement que je maitrise pas bien le programme de sup...

1) Par exemple, si P est matrice de passage de B à B' (B et B' base de E  de dimansion finie).
On a X dans B et X' dans B'.
Pourquoi a t on X= PX' ?
Moi j'aurais plutot pensé à dire que l'on a X'=PX. Je voyé P comme la fonction : E avec B --- P --->E avec B'.

2) Aussi je me demande un autre petit truc.
Si l'on a E de dimension p toujours et F de dimension n et que l'on définie f une application de E dans F.
On a E=ker f ++ S (++=somme directe) et S supplémentaire quelconque.
Pourquoi a ton S isomorphe à Im f ?

3) Je crois que je ne comprends pas bien les sous espaces vectoriels cycliques. Comment sait on que si (x, f(x)) liée par exemple, on a forcément [tex](x, f^{n}(x))[/tex] liée  avec n >=1.
Pourquoi pour un endomorphisme de dim n, on a : il existe x tel que [tex](x,f(x),..., f^{n-1}(x))[/tex] soit une base?

Voici mes premières questions pour mes bibmaths ;)
Bises de Cléo

Dernière modification par cléopatre (20-12-2008 14:56:24)

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Barbichu

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Re : Réduction des matrices et des endomorphismes [Résolu]

Coucou

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Pour la question sur les matrices de passage, c'est une question que je me suis longtemps posée. Mais telle est la définition :
La matrice de passage [tex]P_B^{B'}[/tex] de [tex]B[/tex] à [tex]B'[/tex] est définie par [tex]P_B^{B'} = \textrm{Mat}_B(B')[/tex]
Avec cette définition-là, on comprend un peu l'appellation.

À présent, soit [tex]v[/tex] un vecteur de [tex]E[/tex], soit  [tex]X=\textrm{Mat}_B(v)[/tex] et [tex]X' = \textrm{Mat}_{B'}(v)[/tex].
On a effectivement (démo ici : http://fr.wikipedia.org/wiki/Matrice_de … nstration)  [tex]X =P_B^{B'} X'[/tex]

Cependant, si on prend [tex]f[/tex] un morphisme de [tex]E[/tex] dans [tex]F[/tex] (muni d'une base C).
et [tex]M=\textrm{Mat}_{B,C}(f)[/tex] et [tex]M' = \textrm{Mat}_{B', C}(f)[/tex].
On a [tex]M P_B^{B'} = M'[/tex]. Ainsi [tex]P_B^{B'}[/tex] permet de traduire une matrice à arguments dans [tex]B[/tex] en une matrice à arguments dans [tex]B'[/tex]
C'est donc par application à droite que l'appellation prends le sens intuitif.

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Pour ta deuxième question,
On a  [tex]f : E \mapsto F[/tex] avec  [tex]E = \textrm{Ker} f \oplus S[/tex]
Soit [tex]g : S \mapsto \textrm{Im} f[/tex] la restriction de [tex]f[/tex] à [tex]S[/tex] au départ et à [tex]\textrm{Im} f[/tex] à l'arrivée.
Cette application est bien définie car par définition de  [tex]\textrm{Im} f[/tex] tout élément de [tex]S[/tex] a son image (par [tex]f[/tex]) dans [tex]\textrm{Im} f[/tex].

Soient [tex]x,y \in S[/tex] tels que [tex]g(x) = g(y)[/tex]
On a déjà  [tex]x - y \in S[/tex].
D'autre part [tex]g(x -y) = 0[/tex] donc  [tex]f(x -y) = 0[/tex], c'est à dire  [tex]x -y \in  \textrm{Ker} f[/tex].
Donc  [tex]x -y \in  \textrm{Ker} f \cap S = \{0\}[/tex]
Donc [tex]x = y[/tex] et g injective

Soit maintenant  [tex]y \in \textrm{Im} f[/tex].
Il existe  [tex]x \in E[/tex], tel que [tex]y = f(x)[/tex]
Mais il existe [tex](k,s) \in \textrm{Ker} f \times S[/tex] tel que [tex]x = k+s[/tex]
Alors [tex]y = f(k+s) = f(k) + f(s) = 0 + f(s) = g(s)[/tex]
D'où g surjective.
Qed.

++

Dernière modification par Barbichu (20-12-2008 15:26:23)

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Barbichu

cléopatre

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Re : Réduction des matrices et des endomorphismes [Résolu]

Merci Barbichu de m'avoir répondu.
J'ai juste une petite requete...

[tex]g(x -y) = 0[/tex]

Pourquoi on a [tex]g(x -y) =g(x)-g(y)[/tex]? Pourquoi g est linéaire ?
Je ne comprends pas d'où vient l'hypothèse de f linéaire. Je ne vois pas pourquoi on utiliserait f linéaire.

Bises de Cléo

Dernière modification par cléopatre (20-12-2008 15:57:05)

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Barbichu

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Re : Réduction des matrices et des endomorphismes [Résolu]

Re,
Je suis parti de l'hypothèse que f était un morphisme, sinon le résultat que tu énonces est faux : Ker f et Im f n'ont aucune raison d'être des sous-espaces vectoriels (resp. de E et F).
++

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Barbichu

cléopatre

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Re : Réduction des matrices et des endomorphismes [Résolu]

Oui, cela me semble bien raisonnable  ;)

Merci encore.

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