Forum de mathématiques - Bibm@th.net

picatshou

Invité

trigonométrie [Résolu]

bonsoir ,
montrer que arccosx+arcsinx=pi/2?
Ma démarche est la suivante :
ona xappatient à[-1,1]
pour montrer la première égalité il suffit de montrer que arccosx=pi/2-arcsinx
ona pi/2-arcsinx appartient à [0,pi] alors lapplication de cosinus est possible et on aura donc cos(arccosx)=x.
et cos(pi/2-arcsinx)=sin(arcsinx)=x
donc cos(arccosx)=cos(pi/2-arcsinx)
et par suite arccosx=pi/2-arcsinx
est ce que c'est juste ?  merci beaucoup .

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 057

Re : trigonométrie [Résolu]

Bonsoir,

  La façon dont tu rédiges cela n'est pas assez précise.
En effet, tu utilises un moment cos(a)=cos(b) entraine a=b,
ce qui est bien sûr faux en général.
Mais c'est vrai dans ton cas particulier, car a et b sont éléments de [0,pi],
comme tu l'as remarqué, et cos est une bijection sur cet intervalle.

Je rédigerai cela de la façon suivante :
Puisque arccos(x) et pi/2-arcsin(x) sont tous les deux éléments de [0,pi],
on a arccos(x)=pi/2-arcsin(x) si et seulement si cos(arccos(x))=cos(pi/2-arcsin(x)).
Et tu calculer comme tu as fait à part cos(arccos(x)) et cos(pi/2-arcsin(x)).

Une autre méthode était de poser f(x)=arccos(x)+arcsin(x),
de remarquer que la dérivée est nulle et donc que f est constante.
On trouve que c'est pi/2 en calculant par exemple f(0).

Fred.