Forum de mathématiques - Bibm@th.net

ninah

Membre

Inscription : 07-12-2008

Messages : 4

Polynôme caractéristique

coucou tout le monde,

je suis nouvelle sur  ce forum, j'aimerais bien avoir votre aide.

Je n'arrive toujours pas à trouver une méthode pratique pour calculer le polynôme caractéristique, des fois je réussis à le trouver mais quand il s'agit d'une matrice d'ordre 4, enfin où il faut apparaitre les zéros pour simplifier le calcul je trouve pas la réponse exacte !!
help  !

Merci d'avance

Dernière modification par ninah (07-12-2008 13:26:50)

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 047

Re : Polynôme caractéristique

Bonjour,

  et bienvenue dans les forums de la Bibm@th!
Calculer un polynôme caractéristique, ce n'est normalement pas très difficile. C'est un déterminant à calculer pour lequel on a plein de méthodes (pivot de Gauss, développement suivant une ligne ou une colonne...).
Pour faire apparaitre des zéros quand on calcule le déterminant, il faut faire exactement comme si tu avais un système d'équations à résoudre.
Après, il faut souvent factoriser ce polynôme et c'est souvent plus difficile. Lorsque tu as une matrice d'ordre 4, le polynôme est de degré 4. Pour le factoriser, il faut faire apparaitre des racines évidentes (du type 0,1,-1,2,-2, éventuellement i,....).

Si tu veux que l'on t'aide de façon plus précise, il faut nous donner des exemples....précis!

Fred.

ninah

Membre

Inscription : 07-12-2008

Messages : 4

Re : Polynôme caractéristique

Bonjour,

  et bienvenue dans les forums de la Bibm@th!
Calculer un polynôme caractéristique, ce n'est normalement pas très difficile. C'est un déterminant à calculer pour lequel on a plein de méthodes (pivot de Gauss, développement suivant une ligne ou une colonne...).
Pour faire apparaitre des zéros quand on calcule le déterminant, il faut faire exactement comme si tu avais un système d'équations à résoudre.
Après, il faut souvent factoriser ce polynôme et c'est souvent plus difficile. Lorsque tu as une matrice d'ordre 4, le polynôme est de degré 4. Pour le factoriser, il faut faire apparaitre des racines évidentes (du type 0,1,-1,2,-2, éventuellement i,....).

Si tu veux que l'on t'aide de façon plus précise, il faut nous donner des exemples....précis!

Fred.

salut merci pour l'accueil.
voilà l'exemple    1   3   0   3
                         -2  -6  0  13
                          0  -3  1   3
                         -1  -4  0   8

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 047

Re : Polynôme caractéristique

Salut,

  Voici comment je ferai cela. Si tu regardes bien ta matrice, elle a une colonne qui est composée presque uniquement de zéros (la 3ème), sauf le coefficient de la troisième ligne qui est 1-x (qd on calcule le polynôme caractéristique). Je ferai donc le développement par rapport à la 3ème colonne, pour trouver (sauf erreur) :

[tex] P(x) =(1-x)\times \left|\begin{array}{ccc}
1-x&3&3\\
-2&6-x&13\\
-1&-4&8-x\\
\end{array}\right|
[/tex]

Ensuite, à partir d'un déterminant 3x3, on peut tout développer à l'aide de la règle de Sarrus, ou bien prendre
le coefficient de la première colonne, dernière ligne comme pivot (c'est -1, c'est le plus facile).
En admettant que l'on fasse cela, dans la première ligne, on met L1+(1-x)*L3
et dans la deuxième, on met L2-2*L3. On développe ensuite par rapport à la première ligne....

Fred.

ninah

Membre

Inscription : 07-12-2008

Messages : 4

Re : Polynôme caractéristique

Salut,

  Voici comment je ferai cela. Si tu regardes bien ta matrice, elle a une colonne qui est composée presque uniquement de zéros (la 3ème), sauf le coefficient de la troisième ligne qui est 1-x (qd on calcule le polynôme caractéristique). Je ferai donc le développement par rapport à la 3ème colonne, pour trouver (sauf erreur) :

[tex] P(x) =(1-x)\times \left|\begin{array}{ccc}
1-x&3&3\\
-2&6-x&13\\
-1&-4&8-x\\
\end{array}\right|
[/tex

Fred.

je suis arrivée à cette étape et  j'ai bloqué, pour faire apparaitre les zéros j'arrive pas à suivre une méthode précise!