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BINDANG OBIANG RENAMY

Invité

démonstrations math en algèbre linéaire [Résolu]

Bonsoir,

j'ai besoin d'aide pour faire deux démonstrations.
La première doit être faite avec le raisonnement par l'absurde : l'intersection d'un ensemble A avec son complément dans un ensemble E donne l'ensemble vide.

De plus je dois démontrer les lois de Morgan :
le complémentaire de l'intersection de deux ensembles A et B dans un ensemble E est égal à l'union des complémentaires de A et B dans E,.

A et B étant des sous ensembles de E.

Je remercie d'avance toute personne pouvant m'aider.

Fred

Administrateur

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Messages : 7 049

Re : démonstrations math en algèbre linéaire [Résolu]

Bonsoir toi qui a un pseudo compliqué....

  Allons-y!
1. Imaginons qu'il existe xdans A et dans son complémentaire. Alors, x appartient au complémentaire de A entraine x n'appartient pas à A, ce qui est absurde.

2. On raisonne par double inclusion :
  *soit [tex]x\in (A\cap B)^c[/tex]. Alors, [tex]x\notin A\cap B[/tex].
On distingue deux cas :
a.si [tex]x\notin A[/tex], alors [tex]x\in A^c[/tex] et donc [tex]x\in A^c\cup B^c[/tex].
B.sinon [tex]x\in A[/tex] et donc [tex]x\notin B[/tex] soit [tex]x\in B^x[/tex] qui implique [tex]x\in A^c\cup B^c[/tex].

  *soit [tex]x\in A^c\cup B^c[/tex].
Alors :
a.si [tex]x\in A^c[/tex], alors  [tex]x\notin A[/tex], donc [tex]x\notin A\cap B[/tex] donc [tex]x\in (A\cap B)^c[/tex].
b.sinon, [tex]x\in B^c[/tex], et on effectue le même raisonnement.

En fait, ces deux propriétés sont très simples... Il faut s'appuyer sur un petit dessin pour bien les comprendre.

Fred.

Fred.