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bouhlel007

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theorie des nombres

bonsoir
j ai un probleme sur un exo,j ai besoin de votre aide :

Pour quels p premiers l equation X^2  -7 X + 5  n a pas de solution dans Z/p^100Z
merci

Fred

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Re : theorie des nombres

Bonsoir,

  Ca n'a pas l'air facile.....
Je distinguerai le cas p=2 des autres cas :

*si p=2, si X^2-7X+5=0 dans Z/2^100 Z, alors c'est aussi vrai dans Z/2Z.
Mais dans Z/2Z, elle s'écrit aussi X^2-X+1=0, et c'est faux pour tous les éléments de Z/2Z.
L'équation n'a donc pas de solutions ici.

*si  p est différent de 2, on peut essayer de résoudre l'équation comme on l'a appris au lycée pour une équation du second degré, à savoir mise sous forme canonique etc....
L'intérêt ici est que 2 est premier avec p^100, donc il existe un entier k (égal à (p^100-1)/2) tel que
2k=1 dans Z/p^100 Z.
Ainsi,
X^2-7X+5=X^2-2(7k)X+5=(X-7k)^2+5-49k^2
et l'équation est équivalente à
(X-7k)^2=49k^2-5.
Elle admet une solution si et seulement si 49k^2-5 est un carré dans Z/p^100 Z.

Là, mes souvenirs sur le symbole de Legendre etc... ne sont pas assez vivaces pour déterminer une condition sur p pour que ceci soit vraie.

Cela dit, si tu nous disais ce que tu as étudié récemment (il me semble que tu nous as déjà posé une question sur le symbole de Legendre il y a un mois), cela pourrait nous aider à t'aider!

Fred.

bouhlel007

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Re : theorie des nombres

effectivement ,en fait j ai fait recemment les symboles de legendres et on sait que si symbole(n,p)=1 avec p premier impaire alors n est un carre dans Z/pZ avec n non multiple de p