conjecture de syracuse

titus · 26-11-2008 22:11:29

Bonjour,

je pense avoir résolu le problème des boucles dans syracuse.
Je multiplie un nombre impair par 3, j'ajoute 1 et je divise par 2 jusqu'à obtenir un nombre impair, comme le nombre obtenu ne peut être négatif, il y a au moins une boucle et la question est : y a-t-il d'autres boucles?

La boucle connue : 1-4-2-1-4-2-1-4-2-1...dans une boucle, il y a au moins un nombre impair qui se répète donc il est inutile d'écrire les nombres pairs.

Les multiples de 3 n'ont pas d'antécédent impair et deux multiples de 3 impairs ne peuvent être sur une même chaine. Les nombres non multiples de 3 ont une infinité d'antécédents en 4x+1 avec x impair mais un seul qui peut être en 4x+3 ou en 4x+1 avec x pair. Avec ses informations, on peut écrire les nombres entre un multiple de 3 et un 4x+1 avec x impair.

1-1

3-5
9-7-11-17-13
15-23-35-53
21
27-41-31-47-71-107-161-121-91-137-103-155-233-175-263-395-593-445
33-25-19-29
39-59-89-67-101
45
51-77
57-43-65-49-37
63-95-143-215-323-485
69
75=113=85
81=61
87=131=197
93
99-149
105-79-119-179-269
111-167-251-377-283-425-319-479-719-1079-1619-2429
117
123-185-139-209-157
129-97-73-55-83-125
135-203-305-229
141
147-221
153-115-173
159-239-359-539-809-607-911-1367-2051-3077
165
171-257-193-145-109
177-133
183-275-413
189
195-293
201-151-227-341
207-311-467-701
213
219-329-247-371-557
225-169-127-191-287-431-647-971-1457-1093
231-347-521-391-587-881-661
237
243-365
249-187-281-211-317
255-383-575-863-1295-1943-2915-4373
261
267-401-301
273-205
279-419-629
285
291-437
297-223-335-503-755-1133
303-455-683-1025-769-577-433-325
309

Ici on ne s'occupe pas des longueurs des chaînes, j'ai une autre partie pour la distribution.

1 à pour antécédent lui même, solution unique de l'équation [tex]\frac{3x+1}{2^z}=y[/tex]
Comme un nombre ne peux avoir qu'un antécédent qui ne soit pas un 4x+1 avec x impair tous les nombres s'écrivent une fois et une seule.

Les 4x+1 avec x impair terminent chaques chaînes et transforment les chaînes en réseau, aucun nombre n'est rajouté, un x impair et tous ses 4x+1 donnent un même nombre impair mais ils ont tous des antécédents différents et aussi des antécédents multiples de 3 différents.

Prenons en exemple 7 et son 4x+1 29
9-7-11-17-13
33-25-19-29-11
les antécédents quand il y en a sont en 2x+1 ici 9 et 19

7 et 29 ont des antécédents différents donc 29 ne peux pas donner un nombre tel que 33, 25 ou 19 sinon 7 donnerait aussi un tel nombre et ce nombre aurait alors 2 antécédents, exemple, si 29 donnait 25, alors 25 aurait 2 antécédents 7 et 33, donc un 4x+1 avec x impair ne peux pas donner un nombre sorti en amont sur sa chaîne et encore moins sur une autre qui se trouverait en amont de la sienne donc pas d'autres boucles que 1-1

Si vous pouviez me donner votre avis.

[EDIT] J'ai modifié ta formule pour la rendre conforme à ce qu'elle aurait dû être en utilisant notre Editeur de formules mathématiques. Penses-y la prochaine fois ;-)
J'espère qu'elle est conforme à ce à que tu voulais écrire...
Yoshi
- Modérateur -

yoshi · 27-11-2008 22:04:16

Bonsoir,

Voir http://fr.wikipedia.org/wiki/Conjecture_de_Syracuse

Pour ceux qui utilisent le langage de programmation"Python" (pour les autres, ce que je vais poster sera facilement adaptable : != signifie "différent de" et % représente la fonction modulo) :

#!/usr/bin/env python

# -*- coding: cp1252 -*-

# Simulation de la suite de Syracuse "classique"

mini = 2                                  # indice de début de boucle

maxi = 37                                 # la boucle s'arrête à maxi-1

for i in range(mini,maxi):

    n = i

    print "n =",n

    while n!=1:

        if n%2==0:

            n=n/2

        else:

            n=3*n+1

        print n,

    print

    print

2e version :

#!/usr/bin/env python

# -*- coding: cp1252 -*-

# Simulation de la suite de Syracuse "compressée"

mini=2                                     # indice de début de boucle

maxi=37                                    # la boucle s'arrête à maxi-1

for i in range(mini,maxi):

    n = i

    print "n =",n

    while n!=1:

        if n%2==0:

            n=n/2

        else:

            n=(3*n+1)/2

        print n,

    print

    print

Pour les amateurs de Tableur (ici OpenOffice.calc, probablement peu différent sous Excel) :
- Dans la cellule A1 (par exemple) inscrire le nombre de départ, par exemple 17.
- Dans la cellule A2, copier/coller la formule suivante : =SI(MOD(A1;2);A1*3+1;A1/2)
- Sélectionner la cellule A2, garder le bouton enfoncé et étendre la sélection jusqu'à la cellule Q1 ou au delà...
- Relâcher la pression et aller à Edition --> Remplir --> droite et cliquer...
On constate que l'on boucle sur 4,2,1,4,2,1...

Ta "démonstration" est un peu "touffue"... Je vais essayer de comprendre tes hypothèses puis de suivre le déroulement.
Seulement après, je donnerai un avis.

Si tu as prouvé cette conjecture qui résistait depuis 1928, alors à toi la médaille FIELDS... !!!

@+

titus · 28-11-2008 03:43:33

Bonsoir.
Merci pour ton conseil Yoshi, mais en corrigeant l'équation tu as fait une erreur, l'équation donne x et non y, sinon ça n'a pas de sens, cette équation n'a qu'une solution, 1
Tu dis que la démonstration est touffue

Il ne sert à rien d'écrire les nombres pairs puisque dans une boucle il y a au moins un nombre impair répété et que les nombres pairs présents dans la boucle n'augmentent pas le nombre de boucle.

Les multiples de 3 sont forcément en début de ligne puisqu'ils n'ont pas d'antécédent impair.
Si le multiple de 3 est un 4x+1 avec x impair j'arrête, exemple 21 qui est le 4x+1 de 5
Sinon je continue jusqu'au 4x+1 avec x impair, exemple 445 qui est le 4x+1 de 111

on sait qu'un multiple de 3 ne peut pas être dans une boucle, pas d'antécédent impair.
puisque j'arrête sur un 4x+1 avec x impair, ses antécédents sont des 4x+3 ou des 4x+1 avec x pair et chaque nombre de la chaine n'a qu'un antécédent donc sur une chaine tous les nombres sont différents entre eux et toutes les chaines sont différentes entre elles.

Donc à part 1 tous les nombres seront écrits une fois et une seule, bien sûr ils ne sortent pas dans l'ordre.
Donc à ce stade, on ne sait pas si les nombres bouclent sur 1 ou vont vers l'infini, mais on sait qu'il n'y a pas d'autres boucles.

Prenons un exemple, volontairement je ne vais pas aller jusqu'à 1 pour bien montrer que la preuve est indépendante de la distribution.

31-47-71-107-161-121-91-137-103-155-233-175-263-395-593-445
167-251-377-283-425-319-479-719-1079-1619-2429
911-1367-2051-3077
577-433-325
61

Ce sont les 4x+1 avec x impair qui transforment les chaines en réseau sans ajout de nombres.
Dans 5x+1 il y a des boucles mais c'est normal le multiplicateur est plus grand, la densité des nombres impairs n'a pas changé, en divisant 5x+1 par les puissances de 2 et de 3 plus de problème.
Dans 3x-1 trois boucles, les nombres se répartissent sur ses 3 boucles, -1 n'est pas une puissance de 3
Dans 3x+3 pas de problème 3 comme 1 est une puissance de 3, bien que ici tous les nombres vont donner 3.
Il faudrait que tu me précise ce qui est touffue, j'espère que ce n'est pas l'ensemble.
@+

yoshi · 28-11-2008 12:04:59

Salut,

ok, je corrige :
[tex]\frac{3x+1}{2^z}=x[/tex]
Et j'explicite.la solution :
[tex]x=\frac{1}{2^z-3}[/tex] et l'on voit que x n'est entier (positif) que si le dénominateur vaut 1, donc z = 2 qui donne x = 1.

titus a écrit :

Il faudrait que tu me précise ce qui est touffue, j'espère que ce n'est pas l'ensemble.

Bin, euh, pour moi, si justement !
J'ai beaucoup de mal à voir quelle est très précisément ton hypothèse révolutionnaire et comment tu apportes la preuve de l'unicité la boucle 4 2 1 4 2 1...

titus a écrit :

Il ne sert à rien d'écrire les nombres pairs puisque dans une boucle il y a au moins un nombre impair répété et que les nombres pairs présents dans la boucle n'augmentent pas le nombre de boucle.

- Je ne vois pas en quoi ça gêne ta démonstration. Commodité d'écriture ?
- au moins un nombre impair répété : qu'entends-tu par répété ?
- par contre dès que dans une chaîne on tombe sur une puissance de 2, il est parfaitement inutile d'aller plus loin oui...

Les multiples de 3 n'ont pas d'antécédent impairs.
S'il existait un multiple de 3 possédant un antécédent impair, alors il serait issu du calcul suivant
[tex]\frac{3(2n+1)+1}{2}=3k\;;\;n,k\,\in\,\mathbb{N}[/tex]
Soit [tex]3n+2\,=\,3k[/tex] Un multiple de 3 plus 2 ne pouvant être un multiple de 3 tout court, il est bien impossible de trouver un antécédent impair à un multiple de 3.
D'accord pour cette affirmation. Mais un multiple de 3 peut avoir un antécédent pair :
6-3-5-8-4-2-1
30-15-23-35-53-80-40-20-10-5-8-4-2-1
et plus précisément un multiple de 6. Tu ne démarres jamais d'un nombre pair, pourquoi ? Là aussi, tu considères que c'est inutile parce que :
- soit c'est une puissance de 2 alors on tombe bien sur 4-2-1
- soit ce n'en est pas une, alors ce nombre pair s'écrit 2(2k+1), 4(2k+1), 8(2k+1)... et qu'après division(s) par 2, on retombe sur un nombre impair ?

Si oui, alors, il aurait fallu poser tout cela au départ dans tes conventions d'écriture et de travail...

Donc, on ne s'intéresserait qu'aux nombres impairs...
Après, le constat sur l'impossibilité pour un nombre impair d'avoir un antécédent impair te mène où exactement ?

@+

titus · 28-11-2008 22:20:11

Bonjour.
Je vois que les nombres pairs te manquent, on peut considérer que 3x+1 est une fonction.
Définition d'une fonction : relation qui à chaque élément de son ensemble de départ associe au plus une image. Les nombres pairs ne font pas partie de l'ensemble de départ de la fonction 3x+1, les nombres pairs seront considérés comme des résultats intermédiaires de la fonction 3x+1
Si tous les nombres impairs bouclent sur 1, les nombres pairs qui finissent par donner un nombre impair aussi.
Comme je ne perçoit pas de primes pour des records de longueur, supprimer la moitié des nombres me semble se justifier. Si tu veux mettre les nombres pairs, tu les mets.

Essaie de faire une boucle avec uniquement des nombres pairs.
Dans une boucle 1-4-2-1-4-2-1-4-2-1, le 1 se répète ou si tu préfères, on le retrouve toujours.

Pour la suite, je vais essayer d'être concis.
Les nombres donnent un seul nombre, exemple 7-11, est-ce vrai pour les antécédents?
Un nombre a une infinité d'antécédents en 4x+1 avec x impair mais un seul en 4x+3 ou (exclusif) en 4x+1 avec x pair,exemple : 15 et 17
15-23, 15 est le seul antécédent de 23 qui n'est pas un 4x+1 avec x impair
61-23
245-23
17-13, 17 est le seul antécédent de 13 qui n'est pas un 4x+1 avec x impair
69-13
277-13
Tous les nombres sont donc différents entre eux dans une chaine du multiple de 3 au 4x+1 avec x impair inclus, et toutes les chaines sont différentes entre elles, tous les nombres sont écrits une fois et une seule sinon un nombre aurait 2 antécédents appelés a1 et a2 qui désignerait des antécédents en 4x+3 ou 4x+1 avec x pair.
Inventons des fausses boucles
9-7-11-17-7 les deux antécédents de 7, a1=9 et a2=17 impossible!
3-5
33-25-19-29-5 les deux antécédents de 5, a1=3 et a2=7 impossible! 29 est le 4x+1 de 7 donc si 29 donne 5, 7 donnerait aussi 5
Je ne vois pas quoi ajouter.

@+

Dernière modification par titus (29-11-2008 13:06:08)

yoshi · 28-11-2008 22:38:40

Re,

J'ai cherché à remonter la boucle 4-2-1. n'a d'autre antécédent que 8. On ne peut trouver d'antécédent impair à 4 : [tex]\frac{3(2n+1)+1}{2}\,=\,4\,\Leftrightarrow 3n+2\,=\,4[/tex]
Donc la fin de boucle est 8-4-2-1...
Cette fin de boucle peut être issue d'un nombre de départ du type [tex]2^p[/tex] avec p > 3..
Or tu ne traites que les nombres impairs...
Je cherches les impairs débouchant sur une puissance de deux :
5-8-4-2-1
21-32-16-8-4-2-1
41-64-32-16-8-4-2-1
85-128-64-32-16-8-4-2-1
341-512-256-128-64-32-16-8-4-2-1
[tex]2^p\;avec\;p\ge 3[/tex] n'a d'antécédent impair que si [tex]2^{p+1}-1[/tex] est un multiple de 3.
Mais donc ce p existe...

J'ai cherché l'(les) antécédent(s) de 5... --> 10 et 3. On alors :
3-5-8-4-2-1 et 10-5-4-2-1 qui peuvent être issues respectivement de [tex]3\,\times\,2^p\;et\;5\,\times\,2^p[/tex]
3 et 10 n'ont d'autre antécédent que pair...
Donc :
6-3-5-8-4-2-1 <-- 24-12-6-3-5-8-4-2-1. Nombre de départ : [tex]3\,\times\,2^p[/tex]. Apparemment pas d'antécédent impair. Pas de preuve...
20-10-5-8-4-2-1 <-- 80-40-20-10-5-8-4-2-1 Départ : [tex]5\,\times\,2^p[/tex] non étudié avec les départs impairs.
ou
13-20-10-5-8-4-2-1...
Je cherche à mettre en évidence les nombres impairs de départ qui aboutissent à des débuts de chaine répertoriées. Je viens d'en mettre quelques-uns en évidence : tout ça est bien beau, mais n'apporte aucune preuve...

D'autant que je viens de trouver ces deux liens :
http://membres.lycos.fr/ericmer/syracuse/syracuse.htm
http://www.techno-science.net/?onglet=g … ition=6123

Ta démo me paraît donc pêcher quelque part, il faut "juste" (!) que j'arrive à mettre le doigt dessus...

@+

[EDIT]J'ai posté pendant ta réponse, mais je ne retire rien...
Merci pour la définition d'une fonction... Craignais-tu que je ne la connaisse pas ? ;-)

titus · 29-11-2008 00:32:53

Bonsoir.

Il ne faut pas être susceptible, j'ai pris la définition de la fonction dans le petit Larousse illustré.

La définition n'était pas gratuite, les éléments de l'ensemble de départ sont tous impairs ainsi que tous les éléments de l'ensemble des images.

Si il y avait d'autres boucles, les nombres impairs suffiraient pour les débusquer.

Tu dis que 4 n'as pas d'antécédent impair, tu n'aurais pas oublié 1 par hasard.

Tu peux t'inspirer du net si tu veux, mais si ils ne trouvent pas la solution avec leurs compétences et leur matériel, il vaut mieux trouver une autre voie, de plus sur les sites en question, ils parlent plus de distribution que de boucles et la distribution est traitée dans le chapitre suivant.

@+

Dernière modification par titus (29-11-2008 00:36:58)

yoshi · 29-11-2008 10:15:42

Salut,

Je n'avais pris garde puisque ma programmation arrête l'affichage à 1, mais après vérification, tu ne peux pas à la fois faire usage de [tex]f(x)\,=\,3x+1\;et\;f(x)\,=\,\frac{3x+1}{2}[/tex], tu choisis soit la forme originelle, soit la "compressée"...
Tu es parti dans ton exposé sur [tex]f(x)\,=\,\frac{3x+1}{2}[/tex]. Donci, [tex] \frac{3x+1}{2}\,=\,4[/tex] donne 3x=7 et 4 n'a pas d'antécédent impair...
Mais c'est un détail, puisqu'on est en fin de course.

Alors, je vais prendre le problème par un autre bout.
Avec ta méthode, sans faire les 763 calculs (en comptant les divisions par 2), comment peux-tu prouver que la suite Un = n/2 si n est pair et Un = (3n+1)/2 si n est impair tend vers 1 avec :
[tex]U_0\,=\, 7\,100\,000\,110\,011\,100\,101\,000\,010\,010\,000\,001\,011[/tex] ?

J'attends ta réponse avec intérêt...

@+

titus · 29-11-2008 20:51:30

Bonjour.

Bien, ça devient sérieusement brouillon. Tu connais mon attachement aux nombres impairs, et sous tes pressions, ce message perd en clarté.
Il faudra que tu fasses quelques concessions notamment que
7-22-11-34-17-52-26-13-40-20-10-5-16-8-4-2-1
et 7-11-17-13-5-1
sont équivalents tant au niveau des boucles que du chemin. Si l'une va à 1 l'autre va à 1, si il y a une boucle dans l'une il y en aura une dans l'autre.

Pour la fonction syracuse même si je l'ai quelquefois appelé 3x+1 il s'agit de la fonction qui associe à un élément de départ impair une image impair.
Si je dis l'unique antécédent de 13 qui ne soit pas un 4x+1 avec x impair, je parle de 17
1
5
13
17-69-277...etc
11
Dans cette disposition tous les 4x+1 avec x impair et x impair lui-même, (par exemple ici : 17 69 et 277) ont une durée de vol identique, essentiel pour la deuxième partie : distribution.

Des fonctions comme 1.5x+0,5 3x+1 6x+2 12x+4 24x+8 ...etc deviennent équivalentes si l'on écrit que les nombres impairs. Voir quatrième partie : fonction forcée, fonction avec plusieurs diviseurs ...etc

Dans un système ou alternent les fonctions 3x+1 et y:2 avec x impair et y pair tu te complique sérieusement la tâche surtout que y:2 peut donner un nombre pair ou impair totalement imprévisible. Dans un système où un nombre impair donne (le même nombre impair cas unique pour 1) un nombre impair différent l'avantage est énorme.

Si malgré toutes ces explications simples tu n'es toujours pas convaincu, j'arrêterais la discussion qui serait alors qu'une perte de temps.

Quand tu dis qu'on est en fin de course de qui parle-tu?
Ta question sur : tel nombre x tend-t-il vers 1?
D'abord ici c'est le chapitre des boucles , même en supposant qu'il n'y a qu'une seule boucle,
x a deux alternative tendre vers 1 ou vers l'infini, de plus même dans le chapitre distribution, je ne répond pas à cette question directement, la conclusion de la distribution est que tout nombre tend vers 1 et donc aussi le tien.

Rappel pour les boucles.
7
14
28-9
56
112-37
224
448-149
Tous nombres a une infinité d'antécédents impairs en 4x+1 avec x impair mais un seul antécédent qui ne soit pas de cette forme
exemple : les antécédents de 7 sont 9, 37, 149 ...etc ou seul 9 n'est pas un 4x+1 avec x impair
149 est le 4x+1 de 37 qui est le 4x+1 de 9

Si il y avait une autre boucle dans syracuse on trouverait au moins pour un nombre deux antécédents impairs qui ne serait pas des 4x+1 avec x impair or c'est impossible.

Mais peut être que tu en a marre de syracuse ou de moi, quand tu dis qu'on est en fin de course, aussi je te propose des variantes de syracuse, cantor à ma sauce ou une variante des palindromes à retardement ou autre chose.

A toi de choisir.

@+

yoshi · 29-11-2008 21:17:38

Re,

Tss ! Tss ! Que voilà un joli contresens ! Quand j'ai dit "en fin de course" ça signifiait que le 1 était en bout de chaîne et que 4 ait comme antécédent 1 ou pas selon que l'on prenne 3x+1 ou (3x+1)/2 comme méthode de calcul n'avait qu'une incidence nulle sur l'attribution future de la médaille FIELDS à ta personne ou pas...
Je n'ai pas l'intention de lâcher le morceau avant d'être convaincu que soit tu es dans le vrai, soit tu es dans l'erreur (et te dire pourquoi).

Maintenant par contre, que tu balaies d'un revers de manche négligent, les travaux des mathématiciens éminents qui ont planché sur la question durant des dizaines d'années, sous prétexte qu'ils n'ont pas abouti pour présenter (par rapport auxdits travaux) une solution simplissime et être sûr de ton fait me paraît aller vite en besogne.

Concernant les nombres pairs que tu rejettes à l'intérieur des chaînes, je ne vois pas en quoi ils te gênent, si ce n'est qu'ils rallongent "un peu" les calculs temps de vol... Je verrai si ça change quelque chose ou pas. A priori, non. Mais, j'ai appris la prudence.
Que tu les rejettes en tant que 1er terme [tex]U_0[/tex} de la suite, pourquoi pas ? De toutes façons, on finira par aboutir sur un nombre impair...

Pour ce soir, je ne vais pas plus loin, je suis HS, je verrai demain.

@+

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#1 26-11-2008 22:11:29

conjecture de syracuse

#2 27-11-2008 22:04:16

Re : conjecture de syracuse

#3 28-11-2008 03:43:33

Re : conjecture de syracuse

#4 28-11-2008 12:04:59

Re : conjecture de syracuse

#5 28-11-2008 22:20:11

Re : conjecture de syracuse

#6 28-11-2008 22:38:40

Re : conjecture de syracuse

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#10 29-11-2008 21:17:38

Re : conjecture de syracuse

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