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#1 22-11-2008 23:07:30

djodjo
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Vecteurs Du Plan

Bonjour aidez-moi s'il vous plait je n'y comprends rien. Merci c'est urgent.
Un triangle IJK. A le symétrique de K par rapport à J. B le symétrique de I par rapport à K. C le symétrique de J par rapport à I.
1. Exprimer:
-[tex]\vec{AK}[/tex] en fonction de  [tex]\vec{AB}[/tex] et [tex]\vec{AI}[/tex]
-[tex]\vec{AI}[/tex] en foncton de [tex]\vec{AJ}[/tex] et [tex]\vec{AC}[/tex]
-[tex]\vec{AJ}[/tex] en fonction de [tex]\vec{AK}[/tex]
En déduire que [tex]\vec{AK}[/tex]=[tex]\frac{2}{7}[/tex](2[tex]\vec{AB}[/tex]+[tex]\vec{AC}[/tex])
2. Soit P tel que [tex]\vec{BP}[/tex]=[tex]\frac{1}{3}[/tex][tex]\vec{BC}[/tex].
Exprimer [tex]\vec{AP}[/tex] en fonction de [tex]\vec{AB}[/tex] et [tex]\vec{AC}[/tex]
3. En déduire que A, K, J et P sont alignés.
On montrerait de meme que pour Q et R définis par [tex]\vec{CQ}[/tex]=[tex]\frac{1}{3}[/tex][tex]\vec{CA}[/tex] et [tex]\vec{AR}[/tex]=[tex]\frac{1}{3}[/tex][tex]\vec{AB}[/tex], les points B, K, I et Q sont alignés; C, I, J et R sont alignés.

Dernière modification par djodjo (23-11-2008 18:56:04)

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#2 23-11-2008 00:08:08

Fred
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Re : Vecteurs Du Plan

Bonsoir,

  Je t'explique juste pour [tex]\overrightarrow{AB}[/tex]. Deux cas possibles :

a. Tu es en plein dans le leçon sur le barycentre.
Or, K est le milieu de [IB]. Donc, K est le barycentre de (I,1/2) (B,1/2).
Et c'est du cours que
[tex]\overrightarrow{AK}=\frac12\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AI}\right)[/tex]

b. Ce n'est pas le cas, il faut redémontrer le résultat à la main...
Mais, par la relation de Chasles
[tex]\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AI}=\vec{AK}+\vec{KB}+\vec{AK}+\vec{KI}[/tex]

Comme [tex]\vec{KB}+\vec{KI}=\vec{O}[/tex], car K est le milieu de [IB], on a
[tex]2\vec{AK}=\vec{AB}+\vec{AI}[/tex]

Cela marche bien sûr pareil pour les autres cas de la première question....

Fred.

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#3 23-11-2008 12:14:47

yoshi
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Re : Vecteurs Du Plan

Bonjour,

Bienvenue sur BibM@th...
Si vraiment t'es noyé, alors avec ce que t'a dit Fred (il était tard, ou tôt c'est selon...), tu risques d'être un peu court.
Donc, sans faire le boulot à ta place, je vais ajouter quelques indications.

Puisque C est le symétrique de J par rapport à I, alors C, I, J alignés et I milieu[CJ]
Là, Fred t'a dit d'"adapter" à  [tex]\overrightarrow{AI}[/tex] a formule qu'il t'a donnée pour  [tex]\overrightarrow{AK}[/tex]

Puisque A est le symétrique de K par rapport à J, alors A, J, K sont alignés et J est le milieu de [AK].
Avec ça, il est facile d'exprimer [tex]\overrightarrow{AJ}[/tex] en fonction de [tex]\overrightarrow{AK}[/tex]

Ceci posé, ce n'est plus que de la "cuisine".
Tu dois :
- Partir de  [tex]\overrightarrow{AK}\,=\,\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}\,+\,\overrightarrow{AI}\right)[/tex].
- Remplacer  [tex]\overrightarrow{AI}[/tex] par l'expression trouvée précédemment. Développer.
- Remplacer [tex]\overrightarrow{AJ}[/tex] par l'expression trouvée précédemment.
- Passer tous les [tex]\overrightarrow{AK}[/tex] dans le 1er membre
- Comme dans une équation standard, diviser les deux membres par le coefficient (fractionnaire) de [tex]\overrightarrow{AK}[/tex]
- Mettre 2/7 en facteur

Question 2
- Tu dois partir du vecteur [tex]\overrightarrow{AP}[/tex], et avec la relation de Chasles, le décomposer en passant par b :
ainsi apparaissent les vecteurs [tex]\overrightarrow{AB}[/tex] et [tex]\overrightarrow{BP}[/tex]
- Tu remplaces [tex]\overrightarrow{BP}[/tex] dans ta décomposition
- Tu décomposes alors [tex]\overrightarrow{BC}[/tex] en passant par A.
- Développer, réduire.
- Mettre 1/3 en facteur

Question 3.
Tu sais déjà (Q1) que A, J, K sont alignés, il ne reste plus qu'à monter que A, K et P sont alignés.
Pour cela tu vas montrer que [tex]\overrightarrow{AK}[/tex] et [tex]\overrightarrow{AP}[/tex] sont colinéaires, donc qu'il existe un réel k tel que [tex]\overrightarrow{AK}\,=\,k.\overrightarrow{AP}[/tex]

Ca devrait assez simple à faire même pour quelqu'un qui se noie...

@+


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#4 23-11-2008 13:59:27

djodjo
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Re : Vecteurs Du Plan

si je comprends bien alors
[tex]\vec{AK}[/tex]=[tex]\frac{1}{2}[/tex]( [tex]\vec{AB}[/tex]+ [tex]\vec{AI}[/tex])
[tex]\vec{AI}[/tex]=[tex]\frac{1}{2}[/tex]( [tex]\vec{AJ}[/tex]+ [tex]\vec{AC}[/tex])
[tex]\vec{AJ}[/tex]=[tex]\frac{1}{2}[/tex][tex]\vec{AK}[/tex]

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#5 23-11-2008 14:02:16

Fred
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Re : Vecteurs Du Plan

Tu comprends bien....

F.

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#6 23-11-2008 16:41:01

djodjo
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Re : Vecteurs Du Plan

Merci. J'ai fini par comprendre mais j'ai du mal avec la fin de la 3ème question.

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#7 23-11-2008 17:06:48

yoshi
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Re : Vecteurs Du Plan

Salut,

ok !
Ca :

On montrerait de meme que pour Q et R définis par [tex]\vec{CQ}[/tex]=[tex]\frac{1}{3}[/tex][tex]\vec{CA}[/tex] et [tex]\vec{AR}[/tex]=[tex]\frac{1}{3}[/tex][tex]\vec{AB}[/tex], les points B, K, I et Q sont alignés.

n'a pas l'air d'être une question...
Donc ce que tu entends par "la fin de la 3e question" doit être :
(montrer)

qu'il existe un réel k tel que [tex]\overrightarrow{AK}\,=\,k.\overrightarrow{AP}[/tex]

c'est ça ?
Tu as dû déjà montrer que [tex]\overrightarrow{AK}={2 \over 7}\left(2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)[/tex]
De même tu as dû aboutir à [tex]\overrightarrow{AP}={1 \over 3}\left(2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)[/tex]
Si [tex]\overrightarrow{AK}=k.\overrightarrow{AP}[/tex], alors tu dois trouver k tel que :
[tex]{2 \over 7}\left(2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)=k\,\times\,{1 \over 3}\left(2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)={k \over 3}\left(2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)[/tex]
donc k tel que :
[tex]{2 \over 7}\,=\,{k \over 3}[/tex]...

@=


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#8 23-11-2008 18:54:39

djodjo
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Re : Vecteurs Du Plan

non je parlais bien: On montrerait de meme que pour Q et R définis par [tex]\overrightarrow{CQ}[/tex]=[tex]\frac{1}{3}[/tex][tex]\overrightarrow{CA}[/tex] et [tex]\overrightarrow{AR}[/tex]=[tex]\frac{1}{3}[/tex][tex]\overrightarrow{AB}[/tex], les points B, K, I et Q sont alignés; C, I, J et R sont alignés.

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#9 23-11-2008 18:57:05

djodjo
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Re : Vecteurs Du Plan

Désolé j'avais oublié une partie de l'énoncé
4.Le triangle ABC est donné. Comment construire I, J et K de façon que I soit le milieu de [CJ], J celui de [AK] et K celui de [BI]

Dernière modification par djodjo (23-11-2008 19:03:34)

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#10 23-11-2008 19:37:43

yoshi
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Re : Vecteurs Du Plan

B'soir,

Effectivement, comme ça, c'est cohérent et ne se termine pas en queue de poisson...
C'est assez facile.
Tu sais que maintenant que étant donné le triangle ABC :
- si sur [BC], tu places R tel que [tex]\overrightarrow{BP}={1 \over 3}\overrightarrow{BC}[/tex]
- si sur [CA], tu places Q tel que [tex]\overrightarrow{CQ}={1 \over 3}\overrightarrow{CA}[/tex]
- si sur [AB], tu places R tel que [tex]\overrightarrow{AR}={1 \over 3}\overrightarrow{AB}[/tex]
alors les points I, J et K tels que I soit le milieu de [CJ], J le milieu de [AK] et K le milieu de [BI]
sont de plus tels que :
- A, J, K, P sont alignés
- B, K, I, Q sont alignés
- C, I, J, R sont alignés.

Ceci n'est qu'un résumé des questions 1., 2. et 3. : maintenant il est facile de conclure tes points I, J et K sont chacun à l'intersection de deux droites (et lesquelles)...

A toi de jouer !

@+


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#11 23-11-2008 19:55:29

djodjo
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Re : Vecteurs Du Plan

merci

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#12 24-11-2008 13:49:26

Millouze
Invité

Re : Vecteurs Du Plan

Bonjour, j'ai beau lire et relire je ne comprent toujour pas. Je suis nul en math... j'ai le même exercice pour demain et je n'y arrive pas. Pourriez vous me fair l'exercice ? ^^

#13 24-11-2008 16:03:07

yoshi
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Re : Vecteurs Du Plan

Bonjour Millouze,


Qu'est-ce que tu ne comprends pas ?
Et prière de ne pas répondre : tout ! Ce n'est jamais vrai...
On va t'aider, c'est sûr, mais dis-nous où tu coinces...
1ere, 2e, 3e, 4e question ?
Et précise de quelle étape à quelle étape et si possible quelle notion exactement...


@+

Dernière modification par yoshi (24-11-2008 17:47:49)


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#14 24-11-2008 17:51:36

yoshi
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Re : Vecteurs Du Plan

Re,

Bon, je vais faire un effort en attendant que tu repasses.
Disons pour simplifier qu'en 3e, l'an passé ou plus, on a dû t'introduire un vecteur comme représentant un déplacement dans le plan, avec
- une direction (pour simplifier un peu plus, une inclinaison : verticale, horizontale, oblique (et chaque angle différent par rapport à l'horizontale, donne une direction différente.
- deux sens possibles sur cette direction. Si la direction est horizontale : vers la gauche (-) ou vers la droite (+), si elle est verticale : vers la haut ou vers le bas...
- une longueur.
Ce vecteur dessiné dans le plan se présente comme une flèche avec une origine et une extrémité...
Deux vecteurs sont dits égaux si ils sont de même direction (parallèles ou sur la même droite), de même sens et de même longueur...

Sachant que
Ainsi de la même façon qu'en Algèbre -2 et +2 sont des opposés, [tex]\overrightarrow{AB}\;et\;\overrightarrow{BA}[/tex] sont des vecteurs opposés : s'ils sont de même direction et de même longueur, ils sont de sens opposés dans un cas c'est le sens de A vers B, dans l'autre de B vers A...
On écrit : [tex]\overrightarrow{AB}\,=\,-\overrightarrow{BA}[/tex] ou encore  [tex]\overrightarrow{AB}\,+\,\overrightarrow{BA}\,=\,\vec{0}[/tex]
Si on va de A à B puis de B à A : le résultat est qu'on est finalement allé de A à A, donc déplacement nul, donc vecteut nul...
Venons-en maintenant à l'explication de Fred.
Avec les vecteurs, il y a une relation fondamentale à bien connaître, la relation de CHASLES (mathématicien français) qui peut se résumer ainsi : aller de A à B puis de B à C, c'est finalement partir de A pour arriver à C.
Ce qui se traduit ainsi :
[tex]\overrightarrow{AB}\,+\,\overrightarrow{BC}\,=\,\overrightarrow{AC}[/tex].
Appliqué à l'exercice ça donne quoi ?
K est le milieu de [IB]. et je veux aller de A à K. Hors la voie directe, j'ai deux solutions :
- Aller de A à K en passant par B : [tex]\overrightarrow{AK}\,=\,\overrightarrow{AB}\,+\,\overrightarrow{BK}[/tex]

- Aller de A à K en passant par I : [tex]\overrightarrow{AK}\,=\,\overrightarrow{AI}\,+\,\overrightarrow{IK}[/tex]

Si j'ajoute les 2 égalités membre à membre, j'obtiens :
[tex]2\overrightarrow{AK}\,=\,\overrightarrow{AB}\,+\,\overrightarrow{BK}\,+\,\overrightarrow{AI}\,+\,\overrightarrow{IK}[/tex]

Maintenant, si j'examine la somme  [tex]\overrightarrow{BK}\,+\,\overrightarrow{IK}[/tex] : ces deux vecteurs sont de même direction, de même longueur (la moitié de BI) mais de sens opposés, ils sont donc opposés. Leur somme est le vecteur nul.
Finalement donc :  [tex]2\overrightarrow{AK}\,=\,\overrightarrow{AB}\,+\,\overrightarrow{AI}[/tex]  et encore
[tex]\overrightarrow{AK}\,=\,{1 \over 2}\left(\overrightarrow{AB}\,+\,\overrightarrow{AI}\right)[/tex] (1)

Et que te demande-t-on après ?

Sachant que C le symétrique de J par rapport à I (donc que I est le milieu de [CJ]), d'exprimer [tex]\vec{AI}[/tex] en fonction de [tex]\vec{AJ}[/tex] et [tex]\vec{AC}[/tex] sur le même modèle que (1). Alors ? (Pas besoin de refaire la démo, c'est du cours !)

Sachant que A le symétrique de K par rapport à J (donc que J est le milieu de [AK]), exprimer [tex]\vec{AJ}[/tex] en fonction de [tex]\vec{AK}[/tex]
Là si on regarde le dessin, il n'y a que 3 points en jeu A, J, K dans cet ordre avec J  milieu de [AK].
Les vecteurs Aj et AK sont de même sens, de même direction et la longueur AJ est la moitié de la la longueur AK... Alors ?

Voilà pour la 1ere question. J'attends tes réponses.

@+


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#15 24-11-2008 17:53:09

millouze
Invité

Re : Vecteurs Du Plan

Je pense avoir reussi la premiere question pouriez-vous m'ecrire la reponse pour que je verifi. Enrevanche je bloque sur les questions 2,3 et 4

#16 24-11-2008 17:54:48

millouze
Invité

Re : Vecteurs Du Plan

Merci je regarde sa et je vous répond ^^
@+

#17 24-11-2008 18:10:53

yoshi
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Re : Vecteurs Du Plan

Salut,

TOI, tu postes ta réponse et on te dit oui ou non (et pourquoi).
Suite de la question 1.
J'avais écrit :

Ceci posé, ce n'est plus que de la "cuisine".
Tu dois :
- Partir de  [tex]\overrightarrow{AK}\,=\,\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}\,+\,\overrightarrow{AI}\right)[/tex].
- Remplacer  [tex]\overrightarrow{AI}[/tex] par l'expression trouvée précédemment. Développer.
- Remplacer [tex]\overrightarrow{AJ}[/tex] par l'expression trouvée précédemment.
- Passer tous les [tex]\overrightarrow{AK}[/tex] dans le 1er membre
- Comme dans une équation standard, diviser les deux membres par le coefficient (fractionnaire) de [tex]\overrightarrow{AK}[/tex]
- Mettre 2/7 en facteur

Suis à la lettre ce qui est écris et donne tes réponses (Pense au bouton "Insérer une équation" : il y a aussi une page d'aide au format .pdf pour utiliser cet éditeur, si nécessaire)

Question 2.
J'avais écrit :

Question 2
- Tu dois partir du vecteur [tex]\overrightarrow{AP}[/tex], et avec la relation de Chasles, le décomposer en passant par B :
ainsi apparaissent les vecteurs [tex]\overrightarrow{AB}[/tex] et [tex]\overrightarrow{BP}[/tex]
- Tu remplaces [tex]\overrightarrow{BP}[/tex] dans ta décomposition
- Tu décomposes alors [tex]\overrightarrow{BC}[/tex] en passant par A.
- Développer, réduire.
- Mettre 1/3 en facteur

---> "Tu remplaces [tex]\overrightarrow{BP}[/tex] dans ta décomposition"... et j'ajoute :  par [tex]\frac{1}{3}\overright{BC}[/tex] puisque cette égalité t'est donnée au début de la question.

@+


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#18 24-11-2008 18:16:46

millouze
Invité

Re : Vecteurs Du Plan

Re, J'ai compris ! par contre coment peut-on en deduir que [tex]\overrightarrow{AK}=\frac{2}{7}\left(2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)[/tex]
Je trouve quelque chose mais ce n'est pas coherent avec les premieres réponses ...

#19 24-11-2008 18:18:24

millouze
Invité

Re : Vecteurs Du Plan

Mici encor

#20 24-11-2008 18:19:54

millouze
Invité

Re : Vecteurs Du Plan

C'est normal si je recoit les reponse avant d'avoir poser la kestion ^^

#21 24-11-2008 18:35:00

millouze
Invité

Re : Vecteurs Du Plan

Moi j'arrive a sa :[tex]\overrightarrow{AP}=\frac{1}{3}\left(2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)[/tex]

#22 24-11-2008 18:36:22

millouze
Invité

Re : Vecteurs Du Plan

Pour la question de par contre la 2eme parti de la question 1 je bloque ...

#23 24-11-2008 18:45:07

yoshi
Modo Ferox
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Re : Vecteurs Du Plan

Re,

Oui, c'est normal ! J'ai acquis une sorte de "sixième sens"... ;-)
Bon, question 1.
- Partir de  [tex]\overrightarrow{AK}\,=\,\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}\,+\,\overrightarrow{AI}\right)[/tex].
Les réponses précédentes figurent dans le message #4...

- Remplacer  [tex]\overrightarrow{AI}[/tex] par l'expression trouvée précédemment. Développer.
[tex]\overrightarrow{AK}\,=\,\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}\,+\,\overrightarrow{AI}\right)\,=\,\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}\,+\,\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AI}[/tex].
D'où
[tex]\overrightarrow{AK}\,=\,\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}\,+\,\frac{1}{2}\left({1 \over 2}\left({\overrightarrow{AJ}\,+\,\overrightarrow{AC}\right)[/tex].

- Remplacer [tex]\overrightarrow{AJ}[/tex] par l'expression trouvée précédemment.
- Passer tous les [tex]\overrightarrow{AK}[/tex] dans le 1er membre
- Comme dans une équation standard, diviser les deux membres par le coefficient (fractionnaire) de [tex]\overrightarrow{AK}

Je poste par petits paquets que je corrigerai au fur et à mesure : la prévisualisation ne marche plus chez moi et je ne veux pas perdre de temps à rebooter ma ma machine

A tout de suite


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