limite d'une suite [Résolu]

héloise · 20-11-2008 18:10:50

Bonjour,

voici mon exercice :
1)étudier les variations de la fonction f définie sur R par
f(x)=x-x²
je trouve qu'elle est croissante sur -infini 0.5 (variant de -inf à 0.25) et décroissante ensuite avec les mêmes extrema.

2) On considère la suite (Un) définie par :
U0 appartient à ]0,1[
Un+1=f(Un)
Montrer que pour tout entier n,
0<Un<1/(n+1)

là c'est bon, en se servant du tableau de variation

3) En déduire que la suite définie par
Vn=n*Un est croissante.
ici j'ai fait avec Vn+1-Vn qui est toujours positif

4)Montrer que la suite (Vn) admet une limite l qui appartient à ]0,1]
là j'ai montré qu'elle était majorée par 1 donc qu'elle convergeait puis que comme elle était bornée par 0 et 1, sa limite aussi.

5) et c'est ici que je n'y arrive pas
Montrer que la suite
n*(Vn+1-Vn) a une limite que l'on déterminera.

je ne vois vraiment pas comment faire, j'ai essayé d'encadrer la suite mais ce n'est pas très concluant et en plus ça ne suffit pas, il faut encore prouver que la suite est croissante ou décroissante !

Merci d'avance
bonne soirée

Héloise

yoshi · 20-11-2008 20:00:14

Bonsoir,

N'as-tu pas vu le bouton "Insérer une équation" ouvrant notre Editeur de formules mathématiques ? Dommage ! ;-)
Ton message aurait été beaucoup plus clair parce que là, même si on comprend quand même, l'écriture est un peu ambigüe : on doit pouvoir faire la différence entre (Un)+1 et U_(n+1) sans avoir besoin de réfléchir...

Bon :

je ne vois vraiment pas comment faire, j'ai essayé d'encadrer la suite mais ce n'est pas très concluant et en plus ça ne suffit pas, il faut encore prouver que la suite est croissante ou décroissante !

Concernant la croissance, tu dis toi-même avoir montré que Vn est croissante, donc tu sais que [tex]V_{n+1}-Vn>0[/tex] et donc que [tex]n(V_{n+1}-Vn)>0[/tex] aussi...

Quant à l'encadrement, je te propose une méthode un peu "bourrin" et j'espère que quelqu'un va t'en proposer une autre.
[tex]V_{n+1}=(n+1)U_{n+1}=(n+1)[U_n-U_n^2][/tex]
[tex]V_n=nU_n[/tex]
D'où :
[tex]V_{n+1}-V_n=(n+1)[U_n-U_n^2]-nU_n=nU_n-nU_n^2+U_n-U_n^2-nU_n[/tex]
[tex]V_{n+1}-V_n=-nU_n^2+U_n-U_n^2=U_n-(n+1)U_n^2[/tex]
Maintenant on encadre :
[tex]0<U_n<\frac{1}{n+1}[/tex]
[tex]0<U_n^2<\frac{1}{(n+1)^2}[/tex]
[tex]0<(n+1)U_n^2<\frac{1}{n+1}[/tex]
[tex]-\frac{1}{n+1}<-(n+1)U_n^2<0[/tex]
Puis :
[tex]-\frac{1}{n+1}<U_n-(n+1)U_n^2<\frac{1}{n+1}[/tex]
Soit enfin
[tex]-\frac{1}{n+1}<V_{n+1}-V_n<\frac{1}{n+1}[/tex]
Or [tex]V_{n+1}-Vn\ge 0[/tex]
donc :
[tex]0\le n(V_{n+1}-V_n)<\frac{n}{n+1}[/tex]
Quand n-->+oo alors [tex]\frac{n}{n+1}\,\to +1[/tex]

Ta suite est donc encadrée entre 0 et 1...

@+

héloise · 20-11-2008 21:03:48

Ok, merci d'y avoir consacré du temps !
je suis désolée, j'ai bien vu le petit "insérer une équation" mais je n'ai pas le logiciel java c'est pour ça que mes formules ressemblent à du javanad'ailleurs !
donc oui cette suite a bien une limite, comprise entre 0 et 1, mais le problème c'est de la déterminer aussi...
parce que on n' a pas déterminé celle de (Vn).
mais si on pose l=lim Vn alors l=lim Vn+1
et lim(Vn+1-Vn)=l-l=0?

Bonne soirée

héloise · 20-11-2008 21:04:21

du javanais pas du javana

Fred · 20-11-2008 21:38:27

Bonsoir,

D'abord, j'ai remis l'exercice dans la rubrique "Entraide (supérieur)" car j'imagine qu'il s'agit qu'heloise est en L1 ou en Math Sup.

J'en viens maintenant à ta question, qui je crois est assez difficile!

Comme l'a montré Yoshi, on a :
[tex]w_n=n(v_{n+1}-v_n)=nu_n\big(1-(n+1)u_n\big)[/tex]

Mon premier réflexe a été d'étudier la fonction
[tex]g(x)=x\big(1-(n+1)x\big)[/tex]
pour [tex]x\in[0,1/(n+1)][/tex], puisqu'on sait que c'est là que vit [tex]u_n[/tex].
C'est évidemment très facile à vérifier, et on prouve que le maximum est atteint
en [tex]x=\frac{1}{2(n+1)}[/tex] où la fonction vaut : [tex]\frac{1}{4(n+1)}[/tex]
Multipliant par n, on trouve finalement que
[tex]0\leq w_n\leq \frac{1}{4}[/tex]
Damned! Cela nous permet tout juste de démontrer que [tex](w_n)[/tex] est bornée, mais
pas qu'elle est convergente, et encore moins de déterminer sa limite.

C'est là que ca se gate! Il faut trouver autre chose. Par exemple :
*améliorer l'encadrement de u_n, pour améliorer celui de w_n
*étudier la croissance de [tex](w_n)[/tex], déterminer si elle possède une limite
et calculer cette limite.

Je continue sous peu...

yoshi · 20-11-2008 22:11:19

'lut,

ok, boss !
On ne s'est servi nulle part du fait que l'extremum de la fonction f est 1/4 pour x = 1/2. C'est bizarre...
J'aurais tendance à dire que donc la limite de U est 1/4, mais après ça coince pour V, puis pour W...
Bon, ce soir, je ne suis plus bon à rien...
Je verrai la solution de Fred demain...

@+

Fred · 20-11-2008 22:12:40

Bon, je me lance en explorant la première méthode.
Tu as ton encadrement
[tex]0<u_n<\frac{1}{n+1}[/tex]
et comme je l'ai signalé, ca ne fonctionne pas très bien car g(1/n+1)=0 mais g(1/2(n+1))=1/4.

On va améliorer cet encadrement pour prouver que [tex](u_n)[/tex] se comporte "a peu près"
comme [tex]\frac{1}{n+1}[/tex]
Pour cela, on remarque les choses suivantes :

1. Si 0<c<1, alors [tex]f\left(\frac ck\right)\geq \frac c{k+1}[/tex]
pour k assez grand.

En effet, on a [tex]\frac{c}{k}-\frac{{c}^{2}}{{k}^{2}}\geq \frac{c}{k+1}\Longleftrightarrow \frac{c}{k}-\frac{c}{k+1}\geq \frac{{c}^{2}}{{k}^{2}}\Longleftrightarrow \frac{c}{k(k+1)}\geq \frac{{c}^{2}}{{k}^{\,2}}\Longleftrightarrow k\geq c(k+1)[/tex]
ce qui est vrai si k est assez grand car c<1.

2. On fixe c dans [1/2,1] et on choisit k de sorte que la propriété énoncée en 1. soit vraie et que
[tex]\frac{c}{k}\leq u_0[/tex]
Alors, par une récurrence que tu sauras faire, tu obtiens :
[tex]\frac{c}{k+n}\leq u_n[/tex] pour tout entier n.

3. Pour n assez grand, on a
[tex]\frac{1}{2(n+1)}\leq \frac{c}{n+k}\leq u_n[/tex]
Puisque g est décroissante sur [tex] \left[\frac 1{2n+1},\frac{1}{n+1}\right][/tex], on a
[tex]w_n\leq n\times g\left(\frac{c}{n+k}\right)[/tex]

Mais,
[tex]n\times g\left(\frac{c}{n+k}\right)=n\frac{c}{n+k}\left(1-\frac{c(n+1)}{n+k}\right)=\frac{nc\left((1-c)n+k+c\right)}{(n+k{)}^{2}}[/tex]
et ceci tend, quand n va vers +oo, vers [tex]c(1-c)[/tex].

4. Il est temps de conclure que [tex](w_n)[/tex] converge vers 0.
Fixons [tex]\varepsilon>0[/tex]. Il existe c dans ]1/2,1[ tel que
[tex]c(1-c)<\varepsilon[/tex]
On peut prendre c aussi proche de 1 qu'on veut.
D'autre part, ce c étant fixé, on sait qu'il existe k tel que
[tex]0\leq w_n\leq n\times g\left(\frac{c}{n+k}\right)=\frac{nc\left((1-c)n+k+c\right)}{(n+k{)}^{2}}.[/tex]
Le membre de droite convergeant vers c(1-c), il existe un entier [tex]n_0[/tex]
tel que, pour [tex]n\geq n_0[/tex], on a
[tex]0\leq w_n\leq c(1-c)+\varepsilon\leq 2\varepsilon[/tex]

Ceci prouve bien que [tex](w_n)[/tex] converge vers 0.

Cela fait, ce que j'ai fait est bien trop difficile pour être réalisé seul par 99% des élèves
en L1/Math Sup. J'imagine donc qu'il y a une solution plus facile.
J'espère que quelqu'un d'autre en proposera une.
De toutes façons, je compte sur toi pour donner la correction de ton prof.

Fred.

Barbichu · 22-11-2008 00:39:01

Salut,
[tex]n(v_{n+1}-v_n) = nu_n(1-(n+1)u_n)[/tex] comme yoshi l'a montré.

Et maintenant [tex]v_n = nu_n[/tex] donc [tex](n+1)u_n = v_n + u_n[/tex]
D'où [tex]n(v_{n+1}-v_n) =v_n(1-v_n -u_n)[/tex]

Or [tex]v_n \rightarrow l[/tex] et [tex]u_n \rightarrow 0[/tex]
On en tire [tex]n(v_{n+1}-v_n) \rightarrow l(1-l)[/tex]
++

Barbichu · 22-11-2008 01:45:49

PS : Si l'on veut calculer la valeur de l, il faut utiliser la méthode de Fred, jusqu'au point 2
(Jusqu'à ce point, c'était assez facile)

À ce point là, on sait que [tex]\forall c \in [\frac{1}{2},1[,\, \exists k \in \mathbb{N},\, \forall n\in \mathbb{N},\, \frac{c}{n+k} \leq u_n[/tex]
On a alors [tex]\forall c \in [\frac{1}{2},1[, \,\exists k \in \mathbb{N},\, \forall n\in \mathbb{N}, \,\frac{nc}{n+k} \leq v_n[/tex]
Or [tex]\forall c \in [\frac{1}{2},1[, \, \frac{nc}{n+k} \rightarrow c[/tex], et [tex]v_n \rightarrow l[/tex] donc par passage à la limite, on a :
[tex]\forall c \in [\frac{1}{2},1[, \,c \leq l[/tex].
D'où [tex]l = 1[/tex]

(Je vous laisse remplacer l dans les résultats précédents, et vérifier que mon résultat est le même que celui de Fred)

Dernière modification par Barbichu (22-11-2008 01:46:41)

yoshi · 22-11-2008 13:02:15

Quel tâââlent !

@+

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