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#1 09-11-2008 12:30:20

tibo
Membre expert
Inscription : 23-01-2008
Messages : 1 097

suite de cauchy [Résolu]

Bonjour,

soit C l'espace vectoriel des suites réelles convergentes muni de la norme ||.||oo (infini)
montrer que C est complet.

Si je reformule la question, en ne gardant que ce qui est interressant:
soit l'ensemble des suites réelles convergentes
montrer que toutes les suites de Cauchy de cet ensemble convergent.

or c'est évident puisque toutes les suites de cet ensemble convergent.

est-ce la bonne réponse? parce que dans ce cas je vois pas l'interet de cette question.


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#2 09-11-2008 15:52:20

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : suite de cauchy [Résolu]

Salut,

  Je te répondrai plus en détails tout à l'heure,
mais on s'intéresse ici à des "suites de suites"....
ie tu prends une suite (u_n) de C, qui est de Cauchy.
Chaque élément u_n est lui-même une suite....

Fred.

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#3 09-11-2008 16:20:26

tibo
Membre expert
Inscription : 23-01-2008
Messages : 1 097

Re : suite de cauchy [Résolu]

ah oui, en effet c'est un peu plus complexe, vu comme ça... bon je réfléchit et je reviens.


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#4 09-11-2008 20:34:35

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : suite de cauchy [Résolu]

Re-
 
  En fait, je te conseillerai la chose suivante : considère X un ensemble et E l'espace vectoriel des fonctions bornées de X dans R, muni de la norme infinie, et montre que E est complet.

On considère donc [tex](f_n)[/tex] une suite de Cauchy de E, et on considère une méthode en 3 points :

1. On fabrique la limite.

  Pour cela, on utilise souvent la complétude d'un autre ensemble. Ici, pour chaque x de X, on considère la suite [tex](f_n(x))[/tex]. C'est une suite de Cauchy (pourquoi) de R, qui est complet, elle admet donc une limite f(x).

2. On prouve que f est effectivement élément de E.

  Pour cela, il faut à nouveau utiliser que [tex](f_n(x))[/tex] est une suite de Cauchy de E.

3. On prouve que la suite (f_n) converge effectivement vers f, en utilisant à nouveau que (f_n) est de Cauchy (dans E).

Pour les étapes 2 et 3, en écrivant correctement les quantificateurs, et en faisant tendre un des deux indices vers +oo, cela fonctionne tout seul!

Si on revient à ton exemple, qu'est-ce qu'une suite?  Une suite, c'est une application de N dans R. Donc, si tu fais X=N, tu as en fait prouvé que l'ensemble des suites bornées est un espace complet.
Il reste à faire quelques modifications pour traiter l'espace des suites convergentes...

C'est plus facile dans cet exercice de penser une suite comme une fonction, car ca évite des problèmes de notations, d'imaginer que l'on travaille avec des suites de suites (on a bien plus l'habitude de suites de fonctions), etc...

N'hésite pas à poser des questions supplémentaires.

Fred.

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#5 09-11-2008 23:57:35

tibo
Membre expert
Inscription : 23-01-2008
Messages : 1 097

Re : suite de cauchy [Résolu]

Bonsoir,

merci pour ton aide,

je considère directement C l'ensemble des fonctions de N dans R convergente en +oo.
soit (f_n) suite de cauchy de C

premère question pourquoi (f_n(x)) serai une suite de Cauchy, quelque soit x appartenant à N?
j'ai écrit la définition avec les quatificateurs, pour le prouver il faudrai que je permute un "il existe" et un "quelque soit". Et je ne vois pas comment.

Ensuite, pour montrerque f appartient à C
je doit montrer que f converge.
dans mon cours, j'ai une propriété qui me dit:
si quelque soit n, f_n converge vers l_n
et si la suite (f_n) converge uniformément vers f
alors la suite (ln) converge vers l
et f converge vers l
mon problème est de montrer la converence uniforme dans la deuxième condition

enfin je ne vois pas comment montrer que (f_n) converge vers f

pour résumer, j'ai compris le principe, mais je n'arrive pas à l'appliquer.

Et qu'as tu voulu écrire par (t<sub>n</sub>)


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#6 10-11-2008 09:30:57

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : suite de cauchy [Résolu]

Salut,

  Je crois que tu n'as pas bien saisi que l'on utilisait la norme infini, c'est-à-dire justement la norme de la convergence uniforme. Soit donc [tex](f_n)[/tex] une suite de Cauchy de C.

Donc [tex]\forall \epsilon>0,\ \exists A,\ p,q\geq A\implies \|f_p-f_q\|_\infty<\epsilon[/tex]
Je traduis en
[tex]\forall \epsilon>0,\ \exists A,\ p,q\geq A\implies \forall x\in\mathbb N,\ |f_p(x)-f_q(x)|<\epsilon[/tex]

Et il n'y a pas de problèmes de quantificateurs à inverser. La suite [tex](f_n(x))[/tex] est bien de Cauchy pour tout x.

Pour montrer que f est élément de C, il suffit comme tu l'as remarqué de montrer que [tex](f_n)[/tex] converge uniformément vers f. On fixe [tex]\epsilon>0[/tex]. Il existe A>0,
[tex]p,q\geq A\implies \forall x\in\mathbb N,\ |f_p(x)-f_q(x)|<\epsilon[/tex]
On fait tendre q vers +oo. On trouve
[tex]p\geq A\implies \forall x\in\mathbb N,\ |f_p(x)-f(x)|<\epsilon[/tex]

On démontre donc en même temps que (f_n) converge uniformément vers f, que f est dans C, et que la (f_n) converge vers f dans C (puisque convergence dans C = convergence uniforme).

Fred.

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#7 11-11-2008 10:37:55

tibo
Membre expert
Inscription : 23-01-2008
Messages : 1 097

Re : suite de cauchy [Résolu]

Bonjour,

on a (f_n) suite de Cauchy, donc
[tex]\forall \epsilon>0,\ \exists A,\ \forall p,q\geq A,\ \forall x\in\mathbb N,\ |f_p(x)-f_q(x)|<\epsilon[/tex]

pour montrer que quelque soit x, (f_n(x)) de Cauchy, il faut:
[tex]\forall x\in\mathbb N,\ \forall \epsilon>0,\ \exists A,\ \forall p,q\geq A,\ |f_p(x)-f_q(x)|<\epsilon[/tex]

comment passer de l'un à l'autre, ça ne me parrait pas si évident.

pour le reste j'ai compris

merci

Dernière modification par tibo (11-11-2008 10:39:10)


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#8 11-11-2008 14:09:48

Barbichu
Membre actif
Inscription : 15-12-2007
Messages : 405

Re : suite de cauchy [Résolu]

Hello,
Tu peux montrer que pour tout propriété P, on a :
[tex]\exists a,\,\forall b,\,P(a,b) \Rightarrow \forall b,\,\exists a,\,P(a,b)[/tex]
++


Barbichu

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#9 11-11-2008 20:34:53

tibo
Membre expert
Inscription : 23-01-2008
Messages : 1 097

Re : suite de cauchy [Résolu]

Ah oui...
Je pense que tout est clair maintenant
merci


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