Une propriété qui existe?

Golgup · 23-10-2008 20:43:33

Sveiki!

Quelqun a t-il déjà entendu parler de cette propriété ?: Si p*q=n avec p & q premiers et q>p, alors il existe un unique couple de nombre x,y tel que x+y=n et PGCD(x ; y)=p

++

Dernière modification par Golgup (24-10-2008 11:23:45)

tibo · 24-10-2008 17:27:12

Bonjour,

déja les rôles de x et y étant symétriques, le couple n'est pas unique.
...Bon, je vais réfléchir afin de donner une réponse un peu plus constructive.

Golgup · 24-10-2008 18:07:38

Salut,

Si seulement il n'etait pas unique!..
Malhereusement, il l'est, mais uniquement pour p&q premiers!
Qu' entends tu par "x et y symetriques"?

++

tibo · 24-10-2008 18:13:13

Re,

Tout d'abord je reformule l'énoncé:
[tex]\forall (p,q)\ premier\ tel\ que\ p<q,\ \exists !\ (x,y)\in\ N ,\ (x+y)=p\times q\ et\ PGCD(x,y)=p[/tex]

L'existence ne doit pas être trés difficile à montrer, quoique pas si évidente que ça.

Pour l'unicité je pense avoir trouvé un contre exemple:

p=3 (ou n'importe quel nombre premier foncionne je crois)
q=19
donc p*q=n=57
alors j'ai trouvé deux couples qui fonctionnent:
(x,y)=(2*3,17*3)=(6,51)
x+y=57=n
PGCD(x,y)=3=p
(x',y')=(4*3,15*3)=(12,45)
x'+y'=57=n
PGCD(x',y')=3=p

Dernière modification par tibo (24-10-2008 18:16:19)

tibo · 24-10-2008 18:22:09

oups, tu as posté pendant que j'écrivai

x et y sont symétriques car tu peux les échanger de place dans ta propriété sans la changer. Il ont le même rôle

Tu peux aussi bien écrire
(x+y=n) que (y+x=n)
et de même avec le PGCD

Dernière modification par tibo (24-10-2008 18:22:42)

Barbichu · 24-10-2008 18:30:19

Hello,
1/ existence triviale :
on choisit x = p
on a alors nécessairement y = n-x = pq-p = p(q-1)
et pgcd(x,y) = pgcd(p, p(q-1)) = p

2/ pas d'unicité du couple (cf remarque de tibo sur la symétrie de x et y)

3/ pas d'unicité de la paire, cf remarque de tibo
j'ajouterais que si on choisit d<q, d>=1 et q un nombre premier >= 3
alors le couple (x,y) = (dp, (q-d)p) convient.
On a donc au moins q-1 couples de solution ! (parmis lesquelles il y aura sûrement la moitié de paires identiques)

++

Dernière modification par Barbichu (24-10-2008 18:33:34)

Golgup · 24-10-2008 18:36:10

Re,

Damned! j'ai oublié une condition.. donc le couple x,y AVEC x impair, y pair, la c'est bon. Mais je viens de lire ton post, ducoup il ne sont plus symetriques..
Enfet le couple x,y avec x impair et y pair est donné par: x=[tex]p.sqrt(n)[/tex]
y=[tex]n-(p.sqrt(n))[/tex]
a+

Barbichu · 24-10-2008 18:39:39

Re,
pour ta condition supplémentaire, cf mon 3/
Il suffit de choisir d impair pour que ta condition soit réalisée, donc en prenant q>=5, on peut choisir d=1 et d=3 et ça suffit pour avoir deux solutions.
Exemple : p=3, q=5, n = pq = 15
les couples (3, 12) et (9,6) conviennent.

De même, l'exemple de tibo nous dit que (51,6) (45,12) fonctionnent pour n= 3*19
++

PS :
Que viennent faire des racines de nombres qui ne sont pas des carrés parfaits ?
Tu en prends au moins la partie entière j'espère ?
Pourquoi un tel nombre serait-il pair ?

Dernière modification par Barbichu (24-10-2008 18:58:17)

ABB · 28-10-2008 22:44:41

Bonsoir
je crois que la question ainsi formulée par tibo est simple à justifier
soient p et q deux nombres naturels non nuls tels que q premier
il existe a et b deux entiers naturels non nuls tels que : a+b=q; il suffit de prendre a=1 et b= p-1 ou a=2 et b=p-2 suivant les cas.
On pose : x=ap et y=bp
comme q est premier et a et b non nuls alors pgcd(a;b)=1 . donc : pgcd(x;y)=p
ce qui prouve x et y verifiant les contraintes de la questiuon sauf la contriante del'unicite, qui n'est pas réalisé.

la condiution p est premier n'est pas obligatoire.

Dernière modification par ABB (28-10-2008 22:49:34)

Golgup · 28-10-2008 23:22:07

Re,

J'avais une vue differente du pb, c'est pour cela que j'avais écrit le moyen avec la racine.. bref, merci pour vos réponses! On peut tout de même décomposer un nb en facteurs en calculant tous les pgcd des n/2 couples dont les sommes donnent n..

@+

Dernière modification par Golgup (28-10-2008 23:58:58)

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