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july

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algèbre: racines carrées de matrice [Résolu]

Bonsoir,

j'aurais besoin d'un peu d'aide pour résoudre cette exercice.
soit A=(aij) matrice carrée d'ordre n où aij=1 si j=j+1
                                                               0 sinon
A=B^2

soit g l'endomorphisme de R^n canoniquement associé à B=(e1,e2,...en)

1_ quelle relation d'inclusion lie Imf et Imf
                                              Kerf et Kerg

j'ai trouvé kerf=vect(e1) et Imf=vect(e1,e2,...en-1) mais je n'arrive pas à les relier à g par A=B^2

2_ g est-il bijectif? en déduire le noyau et l'image de g? là je crois que j'aurais besoin de la question précédante

Merci

Fred

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Re : algèbre: racines carrées de matrice [Résolu]

Bonsoir,

  Ce que tu nous écris n'est pas très clair.
Tu écris notamment "si j=j+1", et tu ne définis pas f.
Vu tes réponses, j'ai imaginé que f est l'endomorphisme canoniquement associé à A, et que tu voulais écrire
"i=j+1".
La relation A=B^2 m'ennuie également.
Est-ce que tu voulais écrire B=A^2 (qu'est-ce-qui garantit que A admet une racine carrée).
Je te réponds donc en supposant B=A^2 (il faudra changer qqs points sinon).

1.
Donc, si B=A^2, cela se traduit au niveau des endomorphismes par g=fof.
Ainsi, si f(x)=0, on a g(x)=f(f(x))=0, et donc le noyau de f est contenu dans le noyau de g.
D'autre part, un élément de Im(g) s'écrit g(x), ou encore f(f(x)). C'est donc que Im(g) est contenu dans Im(f).

(si A=B^2, bien sûr, c'est le contraire).
Remarque que j'ai répondu à cette question sans calculer du tout l'image ou le noyau de f (et g).

2.
Là, on calcule ker(f) et Im(f) (tu as bon),
le noyau de g contenant celui de f, on sait donc que g n'est pas injectif.
Pour calculer l'image et le noyau de g, on peut calculer A^2 (ce n'est pas dur!) et procéder comme pour f
(on trouve ker(g)=vect(e1,e2) et Im(g)=vect(e1,e2,...,e_{n-2})).

C'est ok?

Fred.

Dernière modification par Fred (02-10-2008 22:06:13)

july

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Re : algèbre: racines carrées de matrice [Résolu]

Merci beaucoup! en faites vous aviez raison il s'agissait bien de j=i+1 et non pas j=j+1 et j'ai oublier de préciser que l'on supposer que A admettait une racine carrée mais j'ai compris votre technique encore merci. Pourriez vous aussi m'aider pour une autre question? après avoir prouver que img était stable par g on définit un endomorphisme u de Img par u(x)=g(x) et on nous demande de montrer que u est un automorphisme de Img. On sait déjàque u est un endomorphisme reste à prouver qu'elle est bijective or elle est égale à g sur img qui est bijective je ne comprends pas ce qu'il faut chercher

Fred

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Re : algèbre: racines carrées de matrice [Résolu]

Attention, Im(g) ne peut pas être bijective.
En effet, si g était injective, f=gog le serait aussi, et elle ne l'est pas.
De même, si g était surjective, f=gog le serait aussi, et elle ne l'est pas.

Si on reprend la question 2, on a que g n'est pas injective, donc son noyau
est de dimension au moins 1. Comme il est inclus dans Ker(f)=vect(e_1)
qui est de dimension 1, on a forcément égalité et donc Ker(g)=vect(e_1).
On peut faire un raisonnement similaire pour l'image.

Là, il reste deux problèmes :
*d'une part, A n'admet pas de racines carrées!!!!!!
*d'autre part, même si c'était le cas, la restriction de g à Im(g)
n'est pas un automorphisme. En effet, e_1 est dans Im(g),
et pourtant u(e_1)=0.

Bizarre cet exo, d'où le sors-tu?

Fred.

july

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Re : algèbre: racines carrées de matrice [Résolu]

c'est mon professeur de math qui nous l'a donné je crois en effet qu'il y a un problème dans l'énoncé merci quand meme pour vos explications qui m'ont été très utiles bonne soirée