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#1 17-09-2008 00:11:42

nawfal199à
Membre
Inscription : 13-09-2008
Messages : 1

>ensemble [Résolu]

bjr svp d léde

f est bijective équivalen ke (pr tt A apartenan a P(E), f(A barre)=(f(A)le tt barre)
Merci de reprdre ds le pluto possibl

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#2 17-09-2008 06:02:47

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 16 946

Re : >ensemble [Résolu]

Bonjour,

Désolé, ce que tu demandes dépasse mes compétences, il faut attendre un avis plus éclairé...
Vu ton niveau, tu aurais pu faire un effort et utiliser le Code Latex :

Montrer que :  [tex]f \text{ bijective }\Longleftrightarrow \forall A\, \in\, P(E),\, f(\bar A)=\bar {f(A)}[/tex]

@+


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#3 17-09-2008 09:00:16

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : >ensemble [Résolu]

Bonjour,

  D'abord un petit rappel à l'intention de nawfal199à et éventuellement d'autres :
* il faut éviter d'utiliser le langage SMS sur ce forum. Ecrire correctement demande 10 secondes de plus sur le message, et pour de vieux croutons comme moi, ca évite 5min de réflexion pour deviner ce qui est écrit (en plus, un message écrit comme le tien, je n'ai pas envie d'y répondre).
* il est évident que si quelqu'un connait la réponse, il la donnera le plus tôt possible. Ta dernière phrase (tout du moins la partie "de reprdre...possibl" est donc inutile.

Concernant ton exercice :

Pour l'implication directe, on suppose que [tex]f[/tex] est bijective, et prenons [tex]A[/tex] un élément de [tex]\mathcal{P}(E)[/tex]. On doit montrer une double inclusion. Soit d'abord [tex]x[/tex] dans [tex]f(\overline A)[/tex]. Alors
[tex]x=f(y)[/tex] où [tex]y\in\overline A[/tex]. Supposons que [tex]x\in f(A)[/tex]. Alors [tex]x=f(z)[/tex] où [tex]z\in A[/tex]. Mais alors, on a [tex]f(y)=f(z)[/tex] et par injectivité de [tex]f[/tex], on a [tex]y=z[/tex].
Comme [tex]y[/tex] est élément de [tex]A[/tex] et [tex]z[/tex] est élément de son complémentaire, ceci est impossible et donc [tex]x\notin f(A)[/tex], c'est-à-dire qu'on a prouvé que [tex]f(\overline A)\subset \overline{f(A)}[/tex].

Prouvons maintenant l'autre inclusion. Soit [tex]x\in \overline{f(A)}[/tex]. Alors, puisque [tex]f[/tex] est surjective, il existe [tex]y[/tex] élément de [tex]E[/tex] tel que [tex]x=f(y)[/tex]. Mais [tex]y[/tex] ne peut pas être élément de [tex]A[/tex] sinon [tex]x[/tex] serait élément de [tex]f(A)[/tex] ce qui n'est pas. Et donc [tex]y[/tex]
est élément de [tex]\overline A[/tex] et [tex]x\in f(\overline A)[/tex].

Etudions maintenant l'implication réciproque, c'est-à-dire qu'on suppose que pour tout [tex]A[/tex]
de [tex]\mathcal{P}(E)[/tex], on a [tex]f(\overline A)=\overline{f(A)}[/tex]. Prouvons d'abord que ceci entraine que [tex]f[/tex] est injective. En effet, pour [tex]x,y[/tex] tels que [tex]f(x)=f(y)[/tex], supposons [tex]x\neq y[/tex]. Posons [tex]A=\{x\}[/tex]. On a [tex]y\in \overline{A}[/tex] et donc [tex]f(y)\in f(\overline{A}) \subset \overline{f(A)}[/tex]. Or, [tex]f(A)=\{f(x)\}[/tex], et donc [tex]f(y)\neq f(x)[/tex], une contradiction.

Prouvons enfin que [tex]f[/tex] est surjective. Par hypothèse appliquée à [tex]A=E[/tex], on sait que
[tex]f(\overline E)=\overline{f(E)}[/tex]. Mais [tex]f(\overline E)=f(\emptyset)=\emptyset[/tex],
et donc [tex]\overline{f(E)}=\emptyset[/tex] ce qui, en prenant le complémentaire, se traduit en
[tex]f(E)=F[/tex], c'est-à-dire que [tex]f[/tex] est surjective.

En analysant la preuve, on pourrait découper l'exercice en deux parties :
Montrer que [tex]f\textrm{ injective}\Longleftrightarrow\forall A\in\mathcal{P}(E), f(\overline{A}) \subset \overline{f(A)}[/tex].
Montrer que  [tex]f\textrm{ surjective}\Longleftrightarrow\forall A\in\mathcal{P}(E), f(\overline{A}) \supset \overline{f(A)}[/tex].

Fred.

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