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#1 03-09-2008 16:03:38

tibo
Membre expert
Inscription : 23-01-2008
Messages : 1 097

partie entière[Résolu]

Bonjour à tous et bonne rentrée

Pour s'echauffer après ces deux mois d'hibernation, un petit exercice qui me parait très simple, mais que je n'arrive pas. Ne m'en voulez pas c'est la rentrée... :

[tex]A\ quelles\ conditions\ a \in \mathbb{R}\ verifie-t-il\ \forall x \in \mathbb{R},\ E(ax) \ge  aE(x)?[/tex]

Dernière modification par tibo (03-09-2008 16:05:28)


A quoi sert une hyperbole?
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#2 05-09-2008 18:18:15

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 16 944

Re : partie entière[Résolu]

Bonsoir Tibo,

Je commence à réfléchir à ton truc...
Déjà :
[tex]\forall x\,\in\,\mathbb{R},\,E(x)\,\le\,x[/tex].

Et donc si a > 0 :
[tex]\forall x\,\in\,\mathbb{R},\,aE(x)\,\le\,ax[/tex]
et si a < 0 :
[tex]\forall x\,\in\,\mathbb{R},\,aE(x)\,\ge\,ax[/tex]

Après, je pense qu'il faut distinguer les cas où  [tex]a(x\,-\,E(x))\,<\,1[/tex]  et  [tex]a(x\,-\,E(x))\,\ge\,1[/tex]
J'extrais la partie décimale du nombre x parce que :
4*E(1,24) = 4 et E(4*1,24) = 4,
mais
4*E(1,25) = 4  et  E(4*1,25) = 5.

Je ne sais pas bien où ça va me mener (je marche au radar), mais ça me mènera bien quelque part...

Je reposte si j'arrive au bout...

@+


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

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#3 05-09-2008 20:30:51

tibo
Membre expert
Inscription : 23-01-2008
Messages : 1 097

Re : partie entière[Résolu]

J'ai conjecturé que a devait appartenir à N
reste à le prouver


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#4 06-09-2008 05:53:45

JJ
Membre
Inscription : 04-06-2007
Messages : 109

Re : partie entière[Résolu]

Bonjour,

il y a une difficulté d'affichage de la question posée par tibo, #1 03-09-2008 17:03:38
(la partie droite de l'écriture Latex est illisible)

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#5 06-09-2008 06:32:08

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 16 944

Re : partie entière[Résolu]

Bonjour JJ,

Moi, je n'ai aucun problème avec Firefox et j'ai essayé avec
IE6 et Opera 9.52 : aucun pb non plus.
Pour l'affichage Latex, nous dépendons d'un serveur externe, lequel est parfois capricieux : ce qui est vrai à un instant donné, ne l'est souvent plus 5 à 10 min plus tard....

Est-ce toujours vrai chez toi maintenant ?

@+

[EDIT]
Je réécris sa question :
A quelles conditions, [tex]a\,\in\,\mathbb{R}[/tex],  a-t-on :  [tex]\forall x\,\in\,\mathbb{R},\,E(ax)\,\ge\,aE(x)[/tex] ?

Dernière modification par yoshi (06-09-2008 06:37:34)


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#6 07-09-2008 08:33:28

JJ
Membre
Inscription : 04-06-2007
Messages : 109

Re : partie entière[Résolu]

Bonjour yoshi,
Oui, le défaut d'affichage reste le même pour le premier message de tibo.
Par contre, l'expression que tu as ré-écrite semble complète. Merci.

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#7 07-09-2008 10:58:29

JJ
Membre
Inscription : 04-06-2007
Messages : 109

Re : partie entière[Résolu]

Bonjour,

Voici la preuve dans le cas a>1 :
(avec la notation >= pour plus grand ou égal)
Posons n = E(a) et c = a-E(a) 
donc a = n+c  avec 0 <= c < 1
Donnons nous h tel que 0 < h < (1-c)/a  donc 0 < h < 1
Soit X = 1+h
E(X) = E(1+h) = 1  donc  aE(X) = a
aX = a(1+h) = a+ah
ah < (1-c) donc aX < a+(1-c) = a+1-(a-n) = 1+n = 1+E(a)
aX <  1+E(a)
E(aX) <= E(a)  car 1+E(a) est entier et aX est plus petit que cet entier.
La condition E(ax) >= aE(x) devant être vraie quel que soit x, elle doit être vraie pour x=X donc :
E(aX) >= aE(X)
et on a vu que aE(X)=a donc E(aX) >= a
On a aussi vu que E(aX) <= E(a) donc 
a <= E(aX) <= E(a)
a <= E(a) n'est possible que dans le cas de l'égalité. Doc a doit être entier.
Dans le cas 0<a<1 , en prenant h < 1-c  on montre que la condition n'est pas vérifiée.
Je n'ai pas étudié les cas a<0, mais cela doit pouvoir se faire avec la même méthode. A priori, je pense qu'il n'y a pas de solution.

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#8 07-09-2008 17:52:48

tibo
Membre expert
Inscription : 23-01-2008
Messages : 1 097

Re : partie entière[Résolu]

Bonjour,
c'est bon j'ai trouvé, (beaucoup plus simple, mais j'ai été aidé)

Montrons que [tex]\forall\ x\in\ \mathbb{R} ,\ E(ax) \ge aE(x)[/tex]

Si la propriété est vrai quelque soit x, elle doit l'être pour x=1
On a donc pour x=1, E(a)[tex]\ge[/tex]a
Donc [tex]a\ \in\ \mathbb{Z}[/tex]

Raisonons maintenant par l'absurde:
Supposons [tex]a\ \in\ \mathbb{Z}^-*[/tex]
Si x=1/2
alors ax=a/2<0
Donc E(ax)[tex]\le[/tex]-1
Et aE(x)=0
Donc a ne convient pas
Donc a entier naturel


Merci à tous de votre aide


(il faut m'expliquer pourquoi il y a un [tex]\ge[/tex] qui apparait en bleu)

Dernière modification par tibo (07-09-2008 17:57:29)


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