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#101 26-12-2010 11:14:48

yoshi
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Re : Enigme : à l'intérieur d'un triangle équilatéral

Bonjour,

from __future__ import division
from math import sqrt
import psyco
psyco.full()

a=273
for l in xrange(1,273):
    for m in xrange(a-l+1,l+1):
        for n in xrange(a-l+1,m+1):
            if a**4+l**4+m**4+n**4==(a*l)**2+(a*m)**2+(a*n)**2+(l*m)**2+(l*n)**2+\
               (m*n)**2:
                print l,m,n

Résultat :

208 185 97
237 153 120
247 208 65

Pas plus rapide que la méthode des Aires...

Maintenant je retourne à ta méthode...

@+


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#102 26-12-2010 14:11:11

gprbx
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Re : Enigme : à l'intérieur d'un triangle équilatéral

Bonjour,

J'ai essayé le code de yoshi du 25/12/2010  20:27:56, mais adapté aux calculs sur des entiers :
(utilisant la formule valant 16S²) j'ai juste ajouté "if m+n>a" pour éliminer les points M sur un des cotés

def SSSS(L,m,n):
    return (L+m+n)*(-L+m+n)*(L-m+n)*(L+m-n)
print "Début des calculs"
a=273
aT=SSSS(a,a,a)
for L in xrange(1,a):
    for m in xrange(a-L+1,L+1):
        for n in xrange(a-L+1,m+1):
            if m+n>a:
                a1=SSSS(a,L,m)
                a2=SSSS(a,m,n)
                a3=SSSS(a,n,L)
                x=aT+a3-a1-a2
                y=x**2-(4*a1*a2+4*aT*a3) #remettre le 4
                z=a1*a2*a3*aT*64
                if z==y**2:
                    print L,m,n
print "Fin des calculs"

impression
Début des calculs
208 185 97
Fin des calculs

Vous avez peut-être remarqué que la solution pour a=112 est 57 65 73 en progression arithmétique
ce qui donne la belle solution 7125, 8125, 9125 pour un coté a=14000

Bonne fin d'année : gprbx

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#103 26-12-2010 14:16:45

gprbx
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Re : Enigme : à l'intérieur d'un triangle équilatéral

rebonjour,
Existe-t-il une version de psyco adaptée sous windows ?
j'utilise Python intégré dans Eclipse sous Windows (où j'ai les versions express du Basic, du C# ,du C++)

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#104 26-12-2010 18:30:38

yoshi
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Re : Enigme : à l'intérieur d'un triangle équilatéral

Salut,


C'est zouli...

Pour ta question, oui, c'est ce que j'utilise
Attention, ne marche pas avec les versions de Python supérieures à 2.6.x : c'est une raison pour laquelle je ne suis encore pas passé ni à 2.7.x ni à 3.x :
http://sourceforge.net/projects/psyco/files/

@+


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#105 30-12-2010 08:19:15

freddy
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Re : Enigme : à l'intérieur d'un triangle équilatéral

Bonjour,

pour optimiser le temps de recherche des solutions (trouver les valeurs entières de la longueur du côté du triangle équilatéral tq la distance d'un point à l'intérieur d'icelui par rapport à chacun de ses sommets soit une valeur entière - j'ai trouvé plus de 40 valeurs ...), on peut limiter la recherche par la méthode du laboureur chère à nerosson aux valeurs entières suivantes :
a est la longueur du triangle équilatéral ABC,
m, distance de P à A, compris entre 1 et partie entière (ent) de a*sqrt(2)/2
n, distance de P à B, compris entre ent(a/2) et d-1,
et p, distance de P à C, compris entre a-ent((m+n)/2) et a-1.

C'est la conséquence du résultat suivant : si le triplet (m,n,p), coordonnées du point P, est solution, alors toute permutation de ces 3 valeurs entières le sont aussi, par symétrie de ce point P par rapport à l'une quelconque des droites remarquables dudit triangle qui se confondent entre elles.

De fait, si l'on demande aux 3 boucles du  pgm de chercher la solution entre 1 et a, il en donne en fait 3!=6.

L'année 2011 s'annonce plutôt bien, non ?


De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

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#106 30-12-2010 11:59:38

gprbx
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Re : Enigme : à l'intérieur d'un triangle équilatéral

Bonjour,

Navré de jouer les trouble-fin d'année, mais
Les dernières limites ci-dessus semblent correctes pour a=273, mais ne conviennent pas pour a = 112

Utilisant mon programme publié le 26/12/2010 14:11:11
en remplaçant les limites et en enlevant le "if m+n>a:" j'obtiens l'impression suivante :

Début des calculs pour a = 273
97 185 208 point intérieur
120 153 237  point sur un coté
Fin des calculs

Début des calculs pour a=112
42 70 98 point sur un coté
55 57 97 point sur un coté
57 65 73 point intérieur
57 73 65 point intérieur
65 57 73 point intérieur
65 73 57 point intérieur
73 57 65 point intérieur
73 65 57 point intérieur
Fin des calculs

a+ cordialement : gprbx

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#107 30-12-2010 12:10:52

freddy
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Re : Enigme : à l'intérieur d'un triangle équilatéral

Salut,

je ne comprends pas : tu trouves bien les coordonnées de P pour a = 112, non ?


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#108 30-12-2010 13:54:01

freddy
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Re : Enigme : à l'intérieur d'un triangle équilatéral

Re,

ok, j'ai pigé : je ne voulais pas donner LA garantie d'une seule solution à chaque fois, je cherchais à raccourcir le temps CPU de recherche.

Pour trouver la ou  les solutions dans une seule des six régions du triangle, il faudrait réfléchir un peu plus avant, je pense. Je vais regarder ce WE, si j'ai un peu de temps à distraire.


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#109 30-12-2010 14:25:21

freddy
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Re : Enigme : à l'intérieur d'un triangle équilatéral

Re,

oui, oui; j'ai trouvé et me suis trompé : il faut prendre a*sqrt(3)/3 ... mais ça ne peut toujours pas donner la ou les solutions dans une des 6 régions de triangle. Il faut faire d'autres encadrements.

En y regardant de plus près, ça donne en fait deux fois (voire 3 fois) la même solution, car l'arpentage façon laboureur travaille sur deux (voire 3) zones connexes.

Dernière modification par freddy (30-12-2010 17:17:45)


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#110 31-12-2010 12:28:42

freddy
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Re : Enigme : à l'intérieur d'un triangle équilatéral

Re,

j'ai regardé hier soir. Si on veut vraiment limiter le champ de la recherhce des solutions à un seul des 6 triangles rectangles, il faut encadrer la recherche avec les coordonnées (x,y) du point P, et donc user de nombre irrationnels avant de trouvrer les bons entiers.

J'attends que barbichu nous développe une solution purement arithmétique.

Bb


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#111 31-12-2010 12:45:37

yoshi
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Re : Enigme : à l'intérieur d'un triangle équilatéral

Re,

freddy, j'ai écrit :

from __future__ import division
from math import sqrt
import psyco
psyco.full()

a=273
for l in xrange(1,273):
    for m in xrange(a-l+1,l+1):
        for n in xrange(a-l+1,m+1):
            if a**4+l**4+m**4+n**4==(a*l)**2+(a*m)**2+(a*n)**2+(l*m)**2+(l*n)**2+(m*n)**2:
                print l,m,n

Tu avais repris (post #100) l'idée de Barbichu et donné la formule : je l'avais informatisée (pst #101). On n'utilise que des entiers naturels.
La v'la ta solution arithmétique...
Concernant les curieuses limites de boucle, Barbichu avait écrit (post #15) :

j'impose dans les "range" que les cercles se coupent (grace à la borne min) et que le cercle autour de O soit plus grand que celui autour de B qui soit plus grand que celui de A (bornes max), pour obtenir unicité des solutions

@+


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#112 31-12-2010 13:07:16

Epilog
Invité

Re : Enigme : à l'intérieur d'un triangle équilatéral

Bonjour

Puisque ma dernière intervention n'a pas été appréciée (accompagnée d'une farce indigeste et trop épaisse, je l'avoue) je ne donne aujourd'hui que des choses sérieuses, sans oublier mes excuses.
Soient ABC le triangle équilatéral de côté 273, O le centre de son cercle circonscrit de rayon r=OA.
Supposons qu'il existe un point P strictement intérieur au triangle et tel que PA=l, PB=m et PC=n soient des entiers. Traçant un arc de cercle de centre A et de rayon l,donc passant par P, qui coupe AB en Q, la puissance de Q par rapport au cercle (O,ABC) est égale à -QA*QB=-l(273-l) par définition et à d^2-r^2 avec d=QO, résultat classique.
L'égalité : l^2-273l= d^2-r^2 devient équation de degré 2 : l^2 -273l+3*91^2-d^2 = 0. Son discriminant vaut 4*d^2 - 3*91^2. Les racines de l'équation ne sont entières que si cette dernière expression est un carré d'entier. En encadrant d par des remarques géométriques simples les recherches ne sont pas longues, surtout par programmation.
Inutile d'écrire les équations en m et n, elles sont les mêmes qu'en l.
Les recherches conduisent  à trois valeurs de d (logique) : 139, 91, 79 et aux solutions rspectives : 251, 22 ; 182, 91 ; 142, 131.
Trois des cercles devraient se couper en un même point P. Malheureusement il n'en est rien. D'autre part ces nombres ne remplissent pas la condition nécessaire : différence des carrés multiple de 273.

Epilogue : pas de solutions en entiers. Et bien sûr, sauf erreur de ma part (ce qui est toujours possible)...

Je n'ai pas le temps de me relire, l'on me presse. Merci poiur votre hospitalité et
Meilleurs voeux pour vos recherches.

#113 31-12-2010 17:33:23

gprbx
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Re : Enigme : à l'intérieur d'un triangle équilatéral

Bonsoir,

@ epilog : Navré, vous avez tout faux
pour un triangle équilatéral de coté 273, il y a un point P dont les distences au sommets sont 97, 185, 208

J'ai une démonstration qui permet de le vérifier en calculant très exactement sur des Entiers :
t coté du triangle équilatéral, et a, b, c les 3 distances du point P

[tex]\frac{2t²\sqrt{3}}{4} = \frac{(a²+b²+c²)\sqrt{3}}{4} + Aire\ du\ triangle\ de\ cotés\ a\sqrt{3}, b\sqrt{3}, c\sqrt{3}[/tex]

en l'occurrence cette dernière aire S se calcule par
[tex]4S = 3\sqrt{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}[/tex]

Allons réveilloner, la démonstration de cette formule très simple sera donnée un autre jour si nécessaire

Dernière modification par gprbx (02-01-2011 00:13:36)

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#114 31-12-2010 17:38:36

yoshi
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Re : Enigme : à l'intérieur d'un triangle équilatéral

Salut Epilog,

Content de te revoir...
Ce n'était donc qu'un prologue (je sais, c'est facile...).

Trois des cercles devraient se couper en un même point P. Malheureusement il n'en est rien.

Qu'es-tu en train de dire ?
Que ce problème n'admet pas de solutions ?
Or, Barbichu (et question niveau, entre lui et nous, y a pas photo, je peux te l'assurer) a montré dans son post #15 qu'il y avait 3 solutions :

(208, 97, 185)
(237, 120, 153)
(247, 65, 208)

Depuis,
* Avec la méthode des aires de grpbx, j'ai retrouvé ces 3 solutions (1 seule valable si on veut que P soit strictement à l'intérieur du triangle).
* freddy avec sa méthode analytique, aussi
* Et dernièrement, une idée de Barbichu reprise par freddy m'a permis, via informatisation de retrouver ces 3 réponses.
Donc résumé :
Il n'existe qu'un point P unique, strictement à l'intérieur du triangle équilatéral de côté 273 et tel que les distances aux trois sommets soient entières. Ces distances sont 208, 97, 185...

@+

[EDIT]Pas vu que grpbx avait posté pendant ma rédaction : ça ne change pas mon propos, ajoute juste une pierre à l'édifice...

Dernière modification par yoshi (31-12-2010 17:40:49)


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#115 31-12-2010 20:09:09

freddy
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Re : Enigme : à l'intérieur d'un triangle équilatéral

@yoshi,

dans le triangle équilatéral de côté 273, il n'y pas 1 mais 6 points P vérifiant la conditions énoncée. Et dans le cas où le côté mesure 331, il y a 12 solutions à l'intérieur dudit triangle !

Mon idée de solution arithmétique n'est pas la relation que doivent vérifier a, m, n et p, mais bien plutôt qques propriétés que devraient vérifier la longueur a et le triplet(m, n,p) pour savoir si une telle solution existe.

J'ai trouvé plus de 65 valeurs entières possibles pour a (jusqu'à moins de 1.200 si je me souviens bien), et je n'ai pas épuisé le sujet, loin s'en faut.

C'est pourquoi je m'en remettais à Barbichu pour qu'il nous trouve des indications supplémentaires pour l'existence de solutions de manière plus générale.

Bonne soirée,

Freddy


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#116 31-12-2010 21:33:55

yoshi
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Re : Enigme : à l'intérieur d'un triangle équilatéral

Re,
@freddy
Diable, je réessaierai demain matin en balayant bêtement de 1 à 273, puis en triant les composants de chaque triplet par ordre croissant, puis en supprimant les doublons, triplons... etc...

@Epilog
Il n'y a qu'une infime chance qu'on soit 4 à s'être foutus dedans.
Et ne vois pas les auteurs du problème le posant alors qu'il n'y a pas de solution...

Néanmoins, je commence à te suivre et finirai demain...
r=[tex]\frac 2 3 AH[/tex] H étant l'intersection de la médiatrice issue de A et de [BC]...
[tex]AH =\frac{273 \sqrt 3}{2}\;\;et\;\;r=\frac{273 \sqrt 3}{2}\times \frac 2 3 = \frac{273 \sqrt 3}{3}[/tex]
Soit
[tex]r^2= \frac{74529}{3}[/tex]
Et ton équation est :
[tex]l^2-273l-d^2+ \frac{74529}{3}=0[/tex]
ou encore :
[tex]l^2-273l-d^2+24843=0[/tex]
Ou encore :
[tex]l^2-273l-d^2+3\times 91^2=0[/tex]

La suite à demain...

@+


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#117 01-01-2011 15:08:35

yoshi
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Re : Enigme : à l'intérieur d'un triangle équilatéral

Re,

Petite (!) suite
Le discriminant vaut :
[tex]\Delta=273^2-4(3\times 91^2-d^2)=4d^2+273^2-3\times 4 \times 91^2[/tex]
Simplifions :
[tex]\Delta=4d^2-24843=4d^2-3\times 91^2[/tex]

Et les racines s'écrivent :
[tex]l=\frac{273\pm\sqrt{4d^2-3\times 91^2}}{2}[/tex]
Là, je te suis encore, mais
1. Tu pourrais te mettre à LaTex : tu es illisible,
2. Tu pourrais être un peu plus explicite : depuis ce matin, j'ai bien cru 4/5 fois à une erreur de calcul...

Etant donné que jusque là, je ne vois pas de faille dans tes calculs, il n'y a plus qu'un problème d'interprétation des résultats...
Parce que vois-tu, sans vouloir être désobligeant, entre tes conclusions et celles de Barbichu, jusqu'à preuve du contraire, j'opte pour celles de Barbichu.
Il les a retrouvées 2 fois par des moyens différents, et on est 3 à la corroborer par des voies totalement différentes...

Si j'ai le courage, je tâcherai de vérifier en quoi nos solutions sont fausses puisque tu dis qu'il n'y a pas de solution...

Allez, j'ai ce courage...
Avec un système d'axes centré sur B, et des coordonnées
B(0 ; 0), [tex]A\left(\frac{273}{2}\;;\;\frac{273\sqrt 3}{2}\right),\;C(273\;;\;0)\;et\;O\left(\frac{273}{2}\;;\;\frac{273\sqrt 3}{6}\right)[/tex],
tout point Q(x ; y)  de [AB] est sur la droite d'équation [tex]y=x\sqrt 3,\;x\;\in\;\left]0\;;\;\frac{273}{2}\right][/tex].
La droite (AC) a pour équation y = 0 quant à (BC), on a :
[tex]y=-x\sqrt 3+p[/tex] et elle passe par C :
[tex]0=-273\sqrt 3+p\;\Leftrightarrow\;p=273\sqrt 3[/tex]
Équation cherchée : [tex]y=x\sqrt 3+273\sqrt 3[/tex]
Un point P de coordonnées  (x ; y) est intérieur au triangle si ces coordonnées vérifient le système :
[tex]\begin{cases}y &>0\\x\sqrt 3-y&>0\\x\sqrt 3+y-273\sqrt 3&<0\end{cases}[/tex]
Nous, nous disons que (97,185,208) est un triplet valable.
Je pose PA = l =208, PB = m = 97, PC = n = 185.
Les coordonnées de ce point P vérifient-elles le système ?
Calculons-les...
Équations des cercles de centres A, B et C et de rayons l,m,n...
[tex]\begin{cases}x^2+y^2=208^2\\ \left(x-\frac{273}{2}\right)^2+\left(y-\frac{273\sqrt 3}{2}\right)^2=97^2\\ x^2+(y-273)^2=185^2\end{cases}[/tex]

Je développe l'équation (3) :
[tex]x^2+y^2-2\times 273y+273^2=185^2[/tex]
Or x²+y²=208²
Donc :
[tex]208^2-2\times 273y+273^2=185^2[/tex]
Et
[tex]y=\frac{273^2+208^2-185^2}{2\times 273}=\frac{83568}{2\times 3\times 91}=\frac{13928}{91}[/tex]

Je développe l'équation (2) :
[tex]x^2-273x+273^2+y^2-273\sqrt 3 x+\frac{3\times 273^2}{4}=97^2\;\Leftrightarrow\;x^2+y^2-273(x+y\sqrt 3)+273^2=97^2[/tex]

Dans un premier temps, j'y remplace x²+y² par 208² :
[tex]x^2+y^2-273(x+y\sqrt 3)+273^2=97^2\;\Leftrightarrow\;208^2-273(x+y\sqrt 3)+273^2=97^2[/tex]
D'où :
[tex]x+y\sqrt 3=\frac{208^2+273^2-97^2}{273}=\frac{36128}{91}[/tex]
D'où
en remplaçant y :
[tex]x = \frac{36128}{91}-\frac{13928\sqrt 3}{91}= \frac{36128-13928\sqrt 3}{91}[/tex]
Le point P dont les distances à A, B et C sont respectivement 208,85,197 existe bien : ses coordonnées sont :

[tex]P\left(\frac{36128-13928\sqrt 3}{91}\;;\;\frac{13928}{91}\right)[/tex]

Dernier contrôle, vérifient-elles le système d'inéquations
1. y >0 --> ok !
2. [tex]x\sqrt 3-y>0[/tex] --> [tex]x\sqrt 3 - y\approx 75.423[/tex]... ok !
3. [tex]x\sqrt 3+y-273\sqrt 3<0[/tex] -->  [tex]x\sqrt 3+y-273\sqrt 3\approx -91.316...[/tex] ok !
(Pffffiouuu... !)
Le point est bien à l'intérieur du triangle..

Alors ???


Je vais m'intéresser à d² :
[tex]d^2=QO^2=\left(x-\frac{273}{2}\right)^2+\left(x\sqrt 3-\frac{273\sqrt 3}{6}\right)^2[/tex]
Ce qui donne encore :
[tex]d^2=x^2-273x+\frac{273^2}{4}+3x^2-273x+\frac{273^2}{12}=4x^2-2\times 273x+3\times 91^2[/tex]

Et pour le moment, je ne sais pas trop qu'en faire...
Mais c'est dans d² que git le cœur du problème...

@+


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#118 01-01-2011 19:27:51

freddy
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Re : Enigme : à l'intérieur d'un triangle équilatéral

@yoshi,

oui, oui, si tu fais le ménage, tu n'as plus qu'une seule solution.

Je voulais dire qu'il y en a 3!=6 par symétrie ... Ne cherche pas plus loin :-)


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#119 01-01-2011 19:31:02

yoshi
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Re : Enigme : à l'intérieur d'un triangle équilatéral

e,

Que penses-tu des calculs ? Vois-tu une faille, une faute ?
Pourquoi l'interprétation est-elle erronée ?

@+


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#120 01-01-2011 19:49:02

freddy
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Re : Enigme : à l'intérieur d'un triangle équilatéral

Re,

j'ai regardé, il n'y a pas d'erreur, nos solution sont exactes.

En fait, il faut reprendre les calculs d'épilogue (je ne sais ce que le nombre d désigne) et montrer où il se plante.

(à suivre ...)

Dernière modification par freddy (01-01-2011 20:06:34)


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#121 01-01-2011 21:25:30

freddy
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Re : Enigme : à l'intérieur d'un triangle équilatéral

Re,

epilog a écrit :

Soient ABC le triangle équilatéral de côté 273, O le centre de son cercle circonscrit de rayon [tex]r=OA=\sqrt{3}\times 91[/tex].

Supposons qu'il existe un point P strictement intérieur au triangle et tel que PA=l, PB=m et PC=n soient des entiers. Traçant un arc de cercle de centre A et de rayon l,donc passant par P, qui coupe AB en Q, la puissance de Q par rapport au cercle (O,ABC) est égale à [tex]QA\times QB=l(273-l)[/tex] par définition et à [tex]d^2-r^2 \text{avec}\;d=QO[/tex], résultat classique.

L'égalité : [tex]l^2-273l= d^2-r^2[/tex] est équivalente à l'équation de degré 2 en l: [tex]l^2 -273l+3\times 91^2-d^2 = 0[/tex].

Son discriminant vaut [tex]\Delta=4\times d^2 - 3\times 91^2[/tex].

Les racines de l'équation ne sont entières que si le discriminant est le carré d'un entier impair.

Solution immédiate :

[tex]d= 91 \Rightarrow \Delta=91^2  \Rightarrow  l=91\;\text{ou}\; 182[/tex]

Deux autres solutions trouvées sur tableur :

[tex]d= 79 \Rightarrow \Delta=11^2  \Rightarrow  l=131\;\text{ou}\; 142[/tex]

et

[tex]d= 139 \Rightarrow \Delta=229^2  \Rightarrow  l=251\;\text{ou}\; 22[/tex]

puisque d (entier) est compris entre 79 et 157.

Les approches sont identiques avec m et n.

epilog a écrit :

Trois des cercles devraient se couper en un même point P. Malheureusement il n'en est rien. D'autre part ces nombres ne remplissent pas la condition nécessaire : différence des carrés multiple de 273.

Épilogue : pas de solutions en entiers. Et bien sûr, sauf erreur de ma part (ce qui est toujours possible)...

Je n'ai pas le temps de me relire, l'on me presse. Merci pour votre hospitalité et
Meilleurs vœux pour vos recherches.

OK, j'ai refait les calculs avec une présentation soignée, et je ne vois toujours pas le lien entre ces admirables travaux et la réponse à la question posée.

En résumé : comment démontres tu stp, que ces résultats permettent de conclure qu'il ne peut pas y avoir de réponse ?

Dernière modification par freddy (01-01-2011 21:38:32)


De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

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#122 01-01-2011 22:35:18

yoshi
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Re : Enigme : à l'intérieur d'un triangle équilatéral

Bonsoir,

Merci freddy.
J'avais tellement le nez dans le guidon que j'en étais devenu incapable de penser plus avant.
Pour l'exactitude de notre solution, je n'avais plus aucun doute (ou presque), ayant bien montré que le point P existait bien à l'intersection des 3 cercles, et qu'il était bien à l'intérieur du triangle : restait la possibilité, infime vu les contrôles et re-contrôles que j'avais fait, d'une erreur de calcul...
Même chose pour ses calculs...
Il ne restait plus que l'interprétation des calculs amenant à sa conclusion définitivement négative : j'avais même entrevu le 91 (il revenait un peu trop souvent avec insistance), mais sans l'énergie (ni assez d'envie) pour voir réellement qu'en faire...

@+


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#123 01-01-2011 23:10:35

freddy
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Re : Enigme : à l'intérieur d'un triangle équilatéral

Cher Epilog,

le problème de ta démonstration est qu'à aucun moment, les trois quantités l, m et n ne sont liées

Donc ta preuve est fausse, puisque chaque résultat est sans lien avec les autres.

Là où nous savons que nous avons raison est que l'équation de Barbichu, que je retrouve, se base sur les trois équations simultanées liant les trois rayons PA, PB et PC qui, par élimination des coordonnées (x,y) de P, donnent le lien entre ces trois valeurs + la longueur du côté du triangle équilatéral.

Quod Erat Demonstrantum.

Ami yoshi, tu peux dormir tranquille, comme moi !

Dernière modification par freddy (02-01-2011 00:25:17)


De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

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#124 02-01-2011 11:04:15

yoshi
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Re : Enigme : à l'intérieur d'un triangle équilatéral

RE,

Ce matin, j'ai les idées  bien plus claires et je tombe sur quelque chose d'énorme, que me suggère ta formulation, freddy :

chaque résultat est sans lien avec les autres.

En fait, après ses calculs, notre ami Epilog n'avait fait que conclure que :
quel que soit le point P intérieur du triangle, la distance de celui-ci à n'importe quel sommet n'est jamais entière...
Dit comme ça, c'est choquant, hein ? Et je me demande encore pourquoi je ne l'ai pas vu, hier...

@+


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#125 02-01-2011 13:25:01

jpp
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Re : Enigme : à l'intérieur d'un triangle équilatéral

salut
           on peut le verifier en appliquant la formule de HERON  a chacun des 4 triangles

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