Bibm@th

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bienvenue dans les forums du site BibM@th, des forums où on dit Bonjour (Bonsoir), Merci, S'il vous plaît...

Vous n'êtes pas identifié(e).

#51 22-12-2010 11:32:21

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 6 141

Re : Enigme : à l'intérieur d'un triangle équilatéral

Salut,

que ceux qui connaissent la solution se taisent, ce petit sujet sert à illustrer les propos ci-dessus.

je vais montrer 0,99999 ... = 1 (??!??)

Cosidérons le nombre décimal infini a=0.99999999 ...... avec une infinité de 9.

Considérons [tex]10\times a = 9,999999 \cdots [/tex]

Manifestement, [tex]10\times a=9 + a[/tex], donc on a [tex](10-1)\times a= 9 \Rightarrow a=1[/tex] ce qui est manifestement faux !

Où est l'erreur ?

Dernière modification par freddy (22-12-2010 13:30:53)


Memento Mori ! ...

Hors ligne

#52 22-12-2010 12:24:01

Golgup
Membre actif
Inscription : 09-07-2008
Messages : 574

Re : Enigme : à l'intérieur d'un triangle équilatéral

Salut,

L'erreur est là:

[tex]9\times a=a\Rightarrow a=1[/tex]

!!


« c’est cette infinité, insondable et obscure, cause des plus vils combats ! … »

Hors ligne

#53 22-12-2010 13:15:08

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 6 141

Re : Enigme : à l'intérieur d'un triangle équilatéral

Ok, j'ai corrigé.

Où est elle, donc ?


Memento Mori ! ...

Hors ligne

#54 22-12-2010 13:19:35

Golgup
Membre actif
Inscription : 09-07-2008
Messages : 574

Re : Enigme : à l'intérieur d'un triangle équilatéral

ok!

Elle est là:

[tex]\left(10-9\right)\times a=a\Rightarrow a=1[/tex]

...


« c’est cette infinité, insondable et obscure, cause des plus vils combats ! … »

Hors ligne

#55 22-12-2010 13:31:46

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 6 141

Re : Enigme : à l'intérieur d'un triangle équilatéral

Ok,

corrigé à nouveau (faut pas vouloir faire trop de choses à la fois ...)

Bon, alors, maintenant, elle est où, loulou ?

Et je veux, que dis je, j'exige, une réponse circonstanciée !

Dernière modification par freddy (22-12-2010 13:33:27)


Memento Mori ! ...

Hors ligne

#56 22-12-2010 13:34:07

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 11 380

Re : Enigme : à l'intérieur d'un triangle équilatéral

Re,

Et pourtant, c'est bien comme ça qu'on cherche la fraction générant une "suite décimale périodique illimitée"... ;-)
C'est dans tous les livres de Maths.
Soit a=1.232323232323... On a donc 100a = 123.23232323....
D'où 100a-a = 99a = 122 et a =122/99...
Maître Golgup peut vérifier...

Tiens un peu de Python :

>>> from decimal import *
>>> getcontext().prec=43
>>> print Decimal('122')/Decimal('99')
1.232323232323232323232323232323232323232323

Revenons à  x = 0.999999999999999999999...
10x = 9.99999999999...
10x-x=9
9x = 9
x=1

@+


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

Hors ligne

#57 22-12-2010 15:47:42

nerosson
Membre actif
Inscription : 21-03-2009
Messages : 1 658

Re : Enigme : à l'intérieur d'un triangle équilatéral

Salut à tous,

Encore le laboureur avec ses gros sabots, qui empêche tout le monde mathématiser en rond et qui ne cesse de faire des fausses notes dans ce concert d'artistes.

Freddy a dit : "Où est l'erreur ?"

Après, je n'ai fait survoler la suite, parce que :
a) c'était trop savant pour moi,
b) parce que je pense qu'il n'y a pas d'erreur !

Si tu écris : 9,99, ce nombre diffère de 10 de 0,01.
A chaque fois que tu rajoutes un 9 à ce nombre la différence diminue des neuf dixièmes, donc elle tend progressivement vers zéro. Donc, si tu rajoutes une infinité de 9, cette différence, AYANT DIMINUE D'UNE FACON INFINIE, sera égale à zéro.

On parlait l'autre jour des paradoxes multiples qu'on obtient dès qu'on introduit l'infini dans le raisonnement : il me semble qu'en voilà encore un, non ?

Peut-être que quelqu'un a déjà dit savamment ce que je viens de dire avec mon vocabulaire de tous les jours. Si c'est la cas, je m'excuse et je me retire sur le pointe des sabots.

Vous laisserez quand même bien une petite place à Candide, alias Nérosson  ?

P.S.  Freddy, notre ami Tibo te dira que le mot "manifestement", tout comme le mot "évident", n'a rien à foutre dans un raisonnement mathématique. Il aura raison !

Dernière modification par nerosson (22-12-2010 15:57:04)

Hors ligne

#58 22-12-2010 16:13:55

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 6 141

Re : Enigme : à l'intérieur d'un triangle équilatéral

Re,

je suis d'accord, Ô grand laboureur devand l'Eternel, dès qu'on manipule l'infini, il faut faire gaffe, car on peut faire des c...

Ici, il y en a MANIFESTEMENT (au sens de  : "de toute évidence, indiscutablement") une. Il y a une erreur de raisonnement à un moment donné.

La question est  : à quel moment ?


Memento Mori ! ...

Hors ligne

#59 22-12-2010 16:18:52

gprbx
Membre
Inscription : 17-12-2010
Messages : 134

Re : Enigme : à l'intérieur d'un triangle équilatéral

Bonjour,
Faisons des Maths sérieuses pour les collégiens et lycéens qui viennent dans ce forum.
Même si on peut plaisanter à l'occasion…!

On m'a appris : Pour un nombre réel (dans R) la précision 10e-6 est une bonne précision, si on a mieux, pourquoi pas ? le nombre est considéré comme connu.
Mais, dans un problème, pour l'EXISTENCE d'un ENTIER (ou non-existence, voir mon message du 20/12/2010 13:21:20) il faut une démonstration ou un CALCUL AVEC UNIQUEMENT DES ENTIERS. Donc si on trouve une valeur dont la partie entière semble valable pour être l'Entier recherché, on ne peut omettre de le vérifier en tant qu'Entier.

Comme vient de le dire nerosson : en écriture décimale : 1  et 0,9999999… représentent le même nombre entier (les infinis se manient avec précautions), il n'y a donc là aucune surprise, ni paradoxe....

Bonnes fêtes à tous

Hors ligne

#60 22-12-2010 16:27:28

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 6 141

Re : Enigme : à l'intérieur d'un triangle équilatéral

Salut R2D2,

prem's : ici, on aime bien s'amuser, même en faisant sérieusement les choses ! Donc ...

deusse : j'affirme haut et fort que ma démonstration est fausse. Pourquoi ?

Dernière modification par freddy (22-12-2010 16:46:04)


Memento Mori ! ...

Hors ligne

#61 22-12-2010 16:49:51

nerosson
Membre actif
Inscription : 21-03-2009
Messages : 1 658

Re : Enigme : à l'intérieur d'un triangle équilatéral

Salut à tous,

Navré ! Freddy ! Je serais ridicule de vouloir discuter mathématiques d'égal à égal avec toi, et, en temps normal, je ne le ferai jamais.

Mais là, il s'agit d'un problème "basique", où le vermisseau est l'égal de l'aigle.

Donc, je persiste et signe : MATHEMATIQUEMENT, zéro virgule une INFINITE de 9 est égal à 1.

Pour un nombre FINI de 9, il y a une différence. Pour un nombre INFINI de 9, il n'y en a pas, parce qu'il n'y qu'un nombre INFERIEUR à un nombre INFINIMENT PETIT, c'est zéro !

Hors ligne

#62 22-12-2010 17:28:21

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 6 141

Re : Enigme : à l'intérieur d'un triangle équilatéral

Re,

j'affirme haut et fort que je suis un c... et royal !

Nerosson, voilà ta preuve :

http://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9veloppement_d%C3%A9cimal_de_l'unit%C3%A9#S.C3.A9ries_et_suites_infinies

J'ai quand même un sérieux pb intellectuel pour l'admettre, et pour moi, l'erreur vient de [tex]10a=9+a[/tex].

Voili, voiloù ...

PS (après qques jours de réflexion) : c'est vrai que j'aurais du mal à calculer 1-0,999999 .... sauf à poser = 0 !

Dernière modification par freddy (27-12-2010 21:54:07)


Memento Mori ! ...

Hors ligne

#63 22-12-2010 17:31:37

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 11 380

Re : Enigme : à l'intérieur d'un triangle équilatéral

Re,

wikipedia a écrit :

Développement décimal de l'unité

En mathématiques, le développement décimal périodique qui s'écrit 0,999\..., que l'on dénote encore par [tex] 0,\bar{9},\:0,\dot{9}\; ou\; 0,(9)[/tex], représente un nombre réel dont on peut montrer que c'est le nombre 1. En d'autres termes, les deux notations 0,999... et  1 sont deux notations différentes pour le même nombre. Les démonstrations mathématiques de cette identité ont été formulées avec des degrés variés de rigueur mathématique, selon les préférences pour la définition des nombres réels, les hypothèses sous-jacentes, le contexte historique, et le public visé.

Le fait que certains nombres réels peuvent être représentés par plus d'une chaîne de « décimales » n'est pas limité au système décimal, c'est-à-dire de base 10. Le même phénomène a lieu dans toutes les bases entières, et les mathématiciens ont aussi repéré la manière d'écrire 1 dans des systèmes à base non-entière. Ce phénomène n'est d'ailleurs pas spécifique au nombre 1 : tout nombre décimal non-nul dont l'écriture est finie a une autre écriture avec une infinité de 9, comme  8,32 = 8,31999... L'écriture avec un nombre fini de décimales est plus simple, et est presque toujours celle que l'on préfère, ce qui contribue au préjugé que c'est la « seule » représentation. Cependant, l'autre forme, avec une infinité de décimales, est parfois plus utile pour la compréhension du développement décimal de certaines fractions, ou, en base 3, pour la structure de l'ensemble de Cantor ternaire, une fractale simple. La forme « non-unique » doit être prise en compte dans la démonstration classique de ce que l'ensemble des réels n'est pas dénombrable. Plus généralement, tout système de représentation numérique positionnelle pour les nombres réels contiennent une infinité de nombres ayant des représentations multiples.

L'égalité 0,999...= 1 a longtemps été acceptée par les mathématiciens et enseignée dans les manuels. Ce n'est que dans les dernières décennies que les chercheurs en enseignement des mathématiques ont étudié comment les élèves admettaient cette égalité. Certains la rejettent, en raison de leur intuition que chaque nombre a un développement décimal unique, qu'il doit y avoir des nombres infinitésimaux non-nuls, ou bien que le développement 0,999... finit par se terminer. Ces intuitions n'ont pas lieu d'être dans le système des nombres réels, mais il existe d'autre systèmes de nombres qui peuvent en admettre certaines. Dans certains cadres, il y a des nombres qui « évitent » 1 ; ces systèmes sont en général sans connexion avec le problème de 0,999.... , mais ils peuvent être d'un intérêt considérable pour l'analyse mathématique.

@+

[EDIT]Ah, bin trop tard...
freddy est déjà allé à Canossa...

Dernière modification par yoshi (22-12-2010 17:32:58)


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

Hors ligne

#64 22-12-2010 17:35:35

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 6 141

Re : Enigme : à l'intérieur d'un triangle équilatéral

Re,

oui, ça m'apprendra à vouloir réfléchir tout seul ... pourtant qu'est ce que j'ai pu m'emm... avec les nombre transfinis ...

Allez, bise à la pendule, un coup de pied au chat et remontez le chien !

Dernière modification par freddy (22-12-2010 17:41:53)


Memento Mori ! ...

Hors ligne

#65 22-12-2010 18:08:09

Barbichu
Membre actif
Inscription : 15-12-2007
Messages : 405

Re : Enigme : à l'intérieur d'un triangle équilatéral

Bonsoir à tous,

Pour en revenir au sujet initial (les points à distances entière des sommets),
1/ Je ne peux que me ranger à l'avis de gprbx : trouver une solution proche d'un entier à 10^k près (pour tout k entier) ne répond pas au problème. Trouver un entier, c'est trouver un entier, il faut un minimum de rigueur. D'autre part, trouver des solutions d'une équation à 10^k près, n'est pas trouver une solution, c'est trouver une approximation d'une solution, mais ce n'est pas vrai pour n'importe quelle problème. Ce genre de procédé marche pour les solutions des équations usuelles uniquement parce qu'il y a un phénomène de continuité entre une solution et l'équation. Pour le problème étudié, ce n'est pas le cas : trouver une valeur approchée x qui répond presque au problème ne signifie pas que la vraie solution est proche de x.
2/ Je pense que Sieur Epilog ne répondait pas au bon problème, car si c'est le cas, il a fait une terrible erreur : PA² - PB² (qui est bien entier) n'a aucune raison d'être un multiple (sous-entendu "multiple entier") de 273.
En effet, si je reprends les notations de yoshi (je crois), on a : PA² - PB² = 273 (HA - HB). Sauf que (HA - HB) n'a aucune raison d'être entier.

Bien cordialement,


Barbichu

Hors ligne

#66 22-12-2010 18:50:20

gprbx
Membre
Inscription : 17-12-2010
Messages : 134

Re : Enigme : à l'intérieur d'un triangle équilatéral

Bonsoir,

yoshi a écrit:

L'égalité 0,999...= 1 a longtemps été acceptée par les mathématiciens et enseignée dans les manuels.

Vous pouvez me trouver "vieux machin", mais c'est effectivement ce que j'ai appris il y a 60 ans, quand on passait encore le Bac avec de la géométrie "descriptive" et la suite du Bac avec une règle à calcul et les interpolations "à la main" dans les tables de logarithmes.
Mais j'ai participé aux dévoloppements de l'électronique et de l'informatique, matériels et logiciels...alors je peux conseiller et dépanner les amis qui se mettent sur Internet, et suivre ces forums....

Cordialement : gprbx (gp veut dire grand-père avec la chance d'avoir de nombreux petits enfants)

Hors ligne

#67 22-12-2010 19:07:54

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 11 380

Re : Enigme : à l'intérieur d'un triangle équilatéral

Re,

grpbx a écrit :

Vous pouvez me trouver "vieux machin", mais c'est effectivement ce que j'ai appris il y a 60 ans, quand on passait encore le Bac avec de la géométrie "descriptive" et la suite du Bac avec une règle à calcul et les interpolations "à la main" dans les tables de logarithmes.

Alors on, est deux...
Et j'ai encore ma Neperlog, ma table de Log - de MM. Bouvard et Ratinet, avec un grand "S et KOH" sur la page  de garde, mes tables (plutôt un livre d'un beau rose) de valeurs numériques Laborde, mes 7 bouquins de Math-Elem de MM. Lespinard et Pernet (quelle couleur ? Je vous le donne en mille...), et aussi mes Lebossé & Hémery (ou ce qu'il en reste) de la 6e à 2nde...

Alors, ces sources ?... ;-)

@+


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

Hors ligne

#68 22-12-2010 19:17:43

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 6 141

Re : Enigme : à l'intérieur d'un triangle équilatéral

Salut grand père et ses nbreux petits enfants !

Bougre, il y avait nerosson et ses plus de 80 piges, il y avait yoshi et ses plus de 60 piges, et maintenant, on a R2D2 avec ses plus de 70 piges, et tous aussi alerte intellectuellement que des gamins de 15 ans ...

Si ce n'est pas la preuve que "faire des maths conserve", c'est bien la peine que du croc (de boucher), y se décarcasse.

Fred, avoue, t'as quel âge ? Et toi, Barbichu, hein ? (à mon avis, Fred doit avoir dans les 34/36 ans et Barbichu à peine 28)

J'ai bon ? A propos, moi, j'en ai plus de 50 (et quand je dis cela, j'ai encore de la peine à le croire ...)


Memento Mori ! ...

Hors ligne

#69 23-12-2010 06:16:11

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 4 701

Re : Enigme : à l'intérieur d'un triangle équilatéral

Salut Freddy,

  C'est presque mon âge, à un an près (vers le bas).
Pour le grand-père de Bordeaux (bx?), j'ai installé la dernière version de java (1.6.0.26), et tout fonctionne bien avec l'éditeur d'équations chez moi.

A+
Fred.

Hors ligne

#70 23-12-2010 07:47:02

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 6 141

Re : Enigme : à l'intérieur d'un triangle équilatéral

Salut Fred,

en plus, 33 est bien le numéro du département qui héberge Bordeaux ?! :-)

donc gprbx  = grand-père résidant à Bordeaux ! Bravo ! Encore une énigme de résolue ...


Memento Mori ! ...

Hors ligne

#71 23-12-2010 10:16:46

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 6 141

Re : Enigme : à l'intérieur d'un triangle équilatéral

Bonjour,

sur la base de l'idée de Barbichu et nerosson, voici une approche du laboureur informatique.

Dans un repère orthonormé classique, on prend les points [tex]A(0,0),\; B\left(\frac{d}{2},\sqrt{3}\times \frac{d}{2}\right),\;C(d,0)[/tex]

Le point P(x,y) dans le triangle équilatéral ABC de longueur d > 0 est à la distance L1 de A, L2 de C et L3 de B. Par définition, on a :

[tex]L_1^2=x^2+y^2,\;L_2^2=(x-d)^2+y^2,\;L_3^2=\left(x-\frac{d}{2}\right)^2+\left(y-\sqrt{3}\times \frac{d}{2}\right)^2[/tex]

Le laboureur informatique remplace y² de L1 dans  L2 pour trouver x, puis trouve y dans L1 connaissant x, puis teste l'égalité entre L3, x et y pour d fixé.

Il vérifie les solutions déjà trouvées par Barbichu !


Memento Mori ! ...

Hors ligne

#72 23-12-2010 10:53:14

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 6 141

Re : Enigme : à l'intérieur d'un triangle équilatéral

Re,

voilà ce que le laboureur a trouvé de plus que narbichon pour d > 400, avec P à l'intérieur du triangle :

403, 441 (2 solutions), 448 (prévisible), 485, 520, 546 (prévisible), 555, 560, 566 (prévisible, 574 (prévisible), 592.

Il a arrété d'arpenter à d =600.


Memento Mori ! ...

Hors ligne

#73 23-12-2010 22:37:17

gprbx
Membre
Inscription : 17-12-2010
Messages : 134

Re : Enigme : à l'intérieur d'un triangle équilatéral

Bonsoir,
La méthode exposée par Freddy ce 23/12/2010 11:16:46 pour trouver L3, ayant d, L1 et L2 est bien une de celles les plus utilisables, donc yoshi n'a plus besoin de m'en demander les sources.

Par contre, comment vérifier que d, L1, L2 entiers et "L3 soupçonné Entier" soient vraiment les distances d'un point M aux 3 sommets du triangle équilatéral ABC de coté d ?
Je propose d'utiliser
Aire (ABC) = Aire (AMB) + Aire (BMC) + Aire (CMA)
A partir de la belle formule : Aire du triangle = racine carrée de [p(p-a)(p-b)(p-c)] avec p=demi-périmètre,
et a, b, c étant les cotés. (formule enseignée jadis en seconde)
En fait ce sont les carrés des aires qui sont des valeurs entières et qui sont donc les valeurs qu'il faut calculer préalablement. (En isolant bien la partie Entière de L3 calculé)

Soient S1, S2, S3, ST Aires respectives des triangles AMB, BMC, CMA, ABC

On sait au départ que S1 + S2 = ST - S3
S1² + S2² + 2S1S2 = ST² + S3² - 2STS3 ; calculons X = ST² + S3² - S1² -  S2²
2S1S2 + 2STS3 = X
4S1²S2² + 4 ST²S3² + 8STS1S2S3 = X² ; calculons Y = X² - 4S1²S2² - 4ST²S3²
8STS1S2S3 = Y et calculons Z = 64ST²S1²S2²S3²
Z = Y² implique que les 4 valeurs de départ qui sont des Entiers sont bien les distances du point M aux 3 sommets. Et les calculs donnent tous des résultats qui sont exactement des Entiers !
Sans doute transformer ces indications en un petit programme Python sera facile à tous...

Bonnes et joyeuses fêtes : gprbx (gp = grand-père et rbx sont mes initiales, j'habite en région parisienne)

Hors ligne

#74 23-12-2010 23:18:08

Barbichu
Membre actif
Inscription : 15-12-2007
Messages : 405

Re : Enigme : à l'intérieur d'un triangle équilatéral

Bonsoir,
Avec une "nouvelle" caractérisation que je ne vous avais pas encore donnée, je peux pousser ma méthode et accélérer la procédure de recherche (on passe facilement au dessus de la barre des 600).
Ce que j'aime bien, c'est qu'elle s'abstrait du problème de géométrie pour devenir un problème (presque) purement arithmétique.
La voici : pour que (l, n, m, p) soit solution du problème où l est la longueur du côté du triangle et (n, m, p) les distances aux trois sommets. Il faut et il suffit que n⁴ + m⁴ + p⁴ + l⁴ - n²m² - n²p² - m²p² - n²l² - m²l² - p²l² = 0 et que le point ainsi désigné soit à l'interieur du triangle. Vous pourrez constater l'étrange symétrie du problème, y compris par rapport à l ! Peut-être qu'on peut trouver encore mieux en remarquant que c'est un polynôme symétrique et en l'exprimant en fonction des pse. À voir quand j'aurais le temps.
Joyeuse fêtes !


Barbichu

Hors ligne

#75 24-12-2010 08:50:13

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 6 141

Re : Enigme : à l'intérieur d'un triangle équilatéral

Bonjour,

ce qui m'amuse est que c'est bien ce que je pense depuis le début : c'est un pur problème d'arithmétique !

Mais comme je ne suis pas spécialiste de la discipline ... donc merci à Barbichu.

Sinon, mon programme sous SAS est déjà allé aussi au delà de 600 et je cherche à mieux le coder pour accélérer le temps de calcul.

Bonne fêtes aussi !


Memento Mori ! ...

Hors ligne

Pied de page des forums