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#26 10-12-2010 15:46:31

nerosson
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Re : Enigme : à l'intérieur d'un triangle équilatéral

Bonjour à tous,

Bien entendu, je ne devrais pas être là. Mon intervention ne fera que montrer à quel point vous volez haut au-dessus du "vulgum pecus" dont je suis un parfait échantillon.

J'ai lu le prologue de Galdinx et je crois avoir compris la question, c'est déjà beaucoup.
Ensuite, confronté à ces interventions bourrées de formules, j'ai pris l' ascenseur pour venir jusqu'ici. Mais dès le départ la parenthèse de Galdinx m'a laissé perplexe :
a) Comme le mot "évident", l'expression "a priori" a-t-elle sa place dans un énoncé de maths ?
b) "il n'y en a qu'un". Je ne comprends pas : ce triangle étant équilatéral, s'il y en a un, il y en a forcément deux autres, les trois étant disposés par rapport au centre comme les pointes d'une étoile Mercédès.

Avez-vous une raison d'affirmer qu'il n'y en a pas six, ou neuf, ou douze, ou aucun ?

J'ai fait une figure et j'ai essayé de voir si la géométrie pouvait m'aider. Rien trouvé.

Si vous voulez bien acheter le terrain et me payer à l'heure, je vous les trouverai, vos points : J'emploierai la méthode du laboureur et je tracerai, à partir de chaque sommet, des arcs de cercles de 1, 2, 3,...........272 mètres.

Maintenant, haussez les épaules, et reprenez vos savantes discussions : je retourne à la cuisine !

P.S. Une évidence, pour achever d'avoir l'air d'un demeuré : les trois sommets du triangle répondent à la condition, mais je suppose qu'il ne sont pas STRICTEMENT à l'intérieur du triangle.

Dernière modification par nerosson (12-12-2010 13:00:42)

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#27 10-12-2010 17:54:02

nerosson
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Re : Enigme : à l'intérieur d'un triangle équilatéral

Bonsoir,

Conjecture ne reposant sur pas grand chose : 200, 200, 90.

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#28 12-12-2010 17:07:41

nerosson
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Re : Enigme : à l'intérieur d'un triangle équilatéral

Salut à tous,

je viens la ...tête basse, vous dire ce que vous savez déjà : que ma solution était fausse et que, pour 200 et 200, la troisième dimension est de 90,25 par excès.

J' avais aussi fait quelques essais sur des triangles de petites dimensions et j'avais constaté par la méthode du laboureur que le point cherché n' existait pas.

Donc, bien entendu, j' en ai conclu (comme tout le monde) que le nombre 273 n' avait pas été pris au hasard. J'ai donc décomposé en facteurs premiers : 3, 7, 13. Les deuxième, quatrième et sixième nombres premiers. Curieux !

J'ai alors essayé de bousculer, torturer, tripatouiller ces trois nombres. C'était HORRIBLE ! Ca avait l'air d'un viol ! Si Eratosthène avait été là, il aurait sauté sur son portable pour appeler police-secours. C'est ça qui m'a donné 200, 200, 90. Vérifié sur une figure à l' échelle, ça semblait bon. Ensuite, par le calcul, c'était mauvais.

Ce que je voudrais que vous me disiez, vous les kracks, c' est si le fait que 273 se compose de trois (et trois seulement) nombres premiers équidistants présente un lien avec le fait qu'il y a une solution au problème.

Par exemple, si le triangle fait 935 mètres de côté, y a-t-il une solution ?

Oui, je sais, je vous casse les pieds ! D' ici que l'un de vous (il y en a un qui n' habite pas loin) vienne saboter mon ordinateur,  y a pas des kilomètres !

Bonsoir, quand même !

Dernière modification par nerosson (12-12-2010 17:10:23)

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#29 12-12-2010 23:10:57

Barbichu
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Re : Enigme : à l'intérieur d'un triangle équilatéral

Bonsoir,

nerosson a écrit :

a) Comme le mot "évident", l'expression "a priori" a-t-elle sa place dans un énoncé de maths ?

Il s'agit là d'une indication, "évident" n'a pas sa place dans une démonstration, et "a priori" non plus. Cependant, si on te pose une énigme et qu'on te dit qu'il n'y a "a priori" qu'une solution, ça te donne une information de plus quant à la justesse de ton raisonnement. Et je considère personnellement que c'est aussi une chose de plus à prouver.

nerosson a écrit :

b) "il n'y en a qu'un". Je ne comprends pas : ce triangle étant équilatéral, s'il y en a un, il y en a forcément deux autres, les trois étant disposés par rapport au centre comme les pointes d'une étoile Mercédès.

En fait, il pourrait vraiment n'y en avoir qu'un, dans le cas où il existerait n tel que (n, n, n) serait solution. (Le point solution serait alors à la même distance de chaque sommet). Cela dit, on peut voir en résolvant l'énigme que tel n'est pas le cas.

Malgré tout, "il n'y en a qu'un" est en fait un raccourci pour "il n'y en a qu'un, modulo symétrie du triangle".

nerosson a écrit :

Avez-vous une raison d'affirmer qu'il n'y en a pas six, ou neuf, ou douze, ou aucun ?

Seul une preuve permet de l'affirmer. Pour moi ça fait partie de l'énigme que de déterminer combien il y a de solutions.

nerosson a écrit :

Si vous voulez bien acheter le terrain et me payer à l'heure, je vous les trouverai, vos points : J'emploierai la méthode du laboureur et je tracerai, à partir de chaque sommet, des arcs de cercles de 1, 2, 3,...........272 mètres.

Figure toi que c'est exactement ce que j'ai fait, sauf que mon terrain était virtuel ;).

nerosson a écrit :

P.S. Une évidence, pour achever d'avoir l'air d'un demeuré : les trois sommets du triangle répondent à la condition, mais je suppose qu'il ne sont pas STRICTEMENT à l'intérieur du triangle.

C'est exact, les sommets sont des solutions triviales si on admet les points qui ne sont pas strictement intérieurs au triangle. C'est sûrement pour cela l'énigme les exclut.

nerosson a écrit :

J' avais aussi fait quelques essais sur des triangles de petites dimensions et j'avais constaté par la méthode du laboureur que le point cherché n' existait pas.

En effet, ça ne marche pas pour n'importe quelles dimensions. J'ai relancé mon programme d'il y a deux ans sur tous les triangles équilatéraux de côtés de longueurs comprises entre 1 et 400, il me répond qu'il n'y a de solutions que pour les longueurs suivantes : 112, 147, 185, 224 (= 112 * 2), 273, 283, 287, 294 (=147*2), 331, 336 (= 112 * 3), 370 (=185 * 2). Pour 331, il y a même 2 solutions (modulo symmétrie, donc 6).

nerosson a écrit :

Ce que je voudrais que vous me disiez, vous les kracks, c' est si le fait que 273 se compose de trois (et trois seulement) nombres premiers équidistants présente un lien avec le fait qu'il y a une solution au problème.

Par exemple, si le triangle fait 935 mètres de côté, y a-t-il une solution ?

J'ai aussi testé 935, pas de solution.
Et je ne vois personnellement aucun rapport avec la décomposition en nombres premiers.
D'ailleurs s'il existe des solutions pour un triangle équilatéral de côté L, il existe une solution pour le triangle équilatéral de côté k * L, pour tout k. (C'est pour ça que j'ai parfois décomposés les nombres dans la liste ci-dessus : l'existence d'une solution pour 224 était prévisible, puisqu'il y en a une pour 112).

a+

Dernière modification par Barbichu (12-12-2010 23:11:09)


Barbichu

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#30 13-12-2010 14:45:11

nerosson
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Re : Enigme : à l'intérieur d'un triangle équilatéral

Salut, Barbichu,

Un grand merci pour cette réponse complète et parfaitement claire.

On ne discerne aucune règle dans la suite de tes nombres (à part, bien entendu le fait qu'un nombre trouvé implique la présence, dans la liste, de tous ses multiples). La décomposition en facteurs premiers ne révèle rien non plus (d'ailleurs deux d'entre eux sont premiers).

Pourtant, l' idée que l' anarchie puisse être compatible avec les maths me laisse perplexe et agacé, comme un défi au bon sens. En particulier, les nombres premiers. Le jour où quelqu'un trouvera la loi qui les fera rentrer dans le rang sera pour moi un grand jour. Mais si je veux pouvoir le vivre, il n'y a pas de temps à perdre....

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#31 17-12-2010 18:10:24

gprbx
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Re : Enigme : à l'intérieur d'un triangle équilatéral

Bonjour,
Si on trouve un point à l'intérieur d'un triangle équilatéral, et en dehors des hauteurs, on en déduit 5 autres par symétrie par rapport à une hauteur puis par rotations de 120°.
Le plus petit triangle équilatéral dont le coté est un entier, et ayant un point M interne dont les distances aux sommets sont des entiers, a pour coté 112, les distances sont 57, 65, 73.
Le triangle de coté 273 a bien un point M interne dont les distances sont 97, 185, 208 comme déjà trouvé.
Possèdent la même propriété les triangles de coté 147, 185, 283, 331 qui possède 2 fois la propriété, 370 etc.
Un programme qui calcule en flottant (double) comme VisualBasic est très rapide pour trouver ces solutions.
Mais quand une solution est trouvée, il faut la vérifier en ARITHMETIQUE ENTIERE (que des additions, soustractions et multiplications) : PYTHON est alors un outil idéal, car on arrive à comparer exactement des valeurs d'entiers comportant autour de 20 chiffres. On ne peut se fier à une précision absolue limitée à 10 chiffres après la virgule (flottant double en VB) pour garantir un entier !
Le programme en PYTHON de vérification peut être utilisé pour rechercher les solutions, mais alors il est tellement lent que la recherche est rédhibitoire.
Je peux transmettre mes sources documentées...moins de 40 lignes en VB, moins de la moitié en Python,
plus la méthode de contrôle en arithmétique entière.

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#32 17-12-2010 18:52:28

yoshi
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Re : Enigme : à l'intérieur d'un triangle équilatéral

Salut,

Bienvenue sur BibM@th..
Bien sur que ça va être intéressant et tu as raison, soit en travaillant sur des entiers (on doit pouvoir tricher en manipulant des entiers au lieu de décimaux), soit via le module "decimal" travailler avec des flottants en fixant le getcontext().prec=20 (20 décimales) par ex.
Par centre l'emploi de ce module ralentit terriblement les machines.
A titre indicatif, en n'utilisant que des nombres entiers, et via une petite "pirouette" finale, j'ai pu calculer le nombre d'or avec 20000 décimales en moins de 12 s..
Tes sources sont les bienvenues : le sous-forum programmation est là pour ça.

@+


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#33 19-12-2010 18:41:42

gprbx
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Re : Enigme : à l'intérieur d'un triangle équilatéral

Bonjour,
Dans le problème posé, on peut démontrer qu'il n'y a jamais de point M sur les hauteurs du triangle. en effet :

Soit ABC un triangle équilatéral de coté t ENTIER
Soit M sur la hauteur issue de C et tel que AM=a et CM=c soient des ENTIERs
Posons :
(t*t)-(a*a)=R
(t*t)+(2*a*a)-(c*c)=S
alors t,a,c vérifient l'invariant R*R=c*c*S
(On trouve l'invariant en exprimant c fonction de a, puis en isolant les racines carrées en premier membre et en élevant au carré les 2 membres de l'équation.)

il faut donc que S soit un carré S=k*k avec k ENTIER
alors R=c*k
on a donc les 2 équations :
2*(t*t)-2*(a*a) =2* c*k
(t*t)+(2*a*a)-(c*c)=k*k que l'on additionne :

3*t*t = (k+c)*(k+c) or 3 ne peut être le carré d'un entier C.Q.F.D.

Je n'ai pas su écrire comme sur papier x élevé au carré....
et l'éditeur d'équation me demande de revenir à une version antérieure de JAVA, ce qui ne m'intéresse pas...

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#34 19-12-2010 21:03:18

yoshi
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Re : Enigme : à l'intérieur d'un triangle équilatéral

RE,

Je n'ai pas su écrire comme sur papier x élevé au carré... et l'éditeur d'équation me demande de revenir à une version antérieure de JAVA, ce qui ne m'intéresse pas...

Ah bah, cher ami, il n'y a pas besoin de ça :
1. Il y a déjà le ² à gauche de la touche 1 &,
2. L'éditeur d'équation, on peut s'en passer (même s'il fait gagner du temps aux débutants) : ce n'est qu'une interface homme/LaTeX.
    Et LaTeX, ça peut s'écrire à la main (ce que je fais), la preuve ici : code LaTeX ;-)

Je vais étudier ton truc.

@+


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#35 20-12-2010 09:23:05

Epilog
Invité

Re : Enigme : à l'intérieur d'un triangle équilatéral

Chers Matheux, Bonjour.

Au sujet de l'énigme proposée, je vous suggère une analyse du problème. Comme j'ignore votre niveau, ce qui suit ne  dépassera pas la "Seconde scientifique" des lycées.
Supposant le problème résolu, soit P le point strictement intérieur au triangle équilatéral ABC de côtés 273 unités. Projetant P orthogonalement sur les trois côtés, nous obtenons six tiangles rectangles d'hypoténuses PA, PB, PC entières. Le théorème de Pythagore, appliqué à chacun d'eux, nous donne six relations, deux en PA^2, deux en PB^2 et deux en  PC^2.
Les retranchant deux à deux judicieusement, nous constatons que PA^2-PB^2, PB^2-PC^2 et PA^2-PC^2 (supposant pour l'approche PA>PB>PC) sont des multiples de 273.
En outre, les encadrements habituels de PA+PB, ... et des différences nous  permettent de limiter nos recherches ; de même, le fait qu'une différence de deux carrés ne se termine jamais par 7. Une table des nombres premiers peut être utile aussi.
Le triplet (241, 227, 59) répond à la question.

Prolongement : Construisons un triangle de côtés respectifs 241, 227 et 59 unités, XYZ, ainsi que son point de Fermat-Torricelli F. Calculons la somme FX+FY+FZ. Le résultat n'étonnera pas les "géomètres".

Merci à tous de votre attention et bonnes récréations pour cette finn d'année.       Cl G alias Epilog

#36 20-12-2010 10:54:26

yoshi
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Re : Enigme : à l'intérieur d'un triangle équilatéral

Bonjour,

Epilog a écrit :

Comme j'ignore votre niveau, ce qui suit ne  dépassera pas la "Seconde scientifique" des lycées.

T'as raison de te méfier de notre niveau : sur un forum où nous répondons couramment à des questionnements de niveau TS, mais aussi dans le forum "Enseignement Supérieur", à des niveaux de L1 pour certains, le niveau 2nde est vraiment prendre un risque...
A toutes fins utiles :
* Le théorème de Pythagore est du niveau 4e...
* La "2nde scientifique" n'existe pas : les classes de 2nde sont dites indifférenciées et ce depuis 15 ans au moins...
* Je doute fort qu'un seul Lycéen connaisse le point de Fermat-Torricelli (personnellement même si je réponds au niveau TS et parfois Enseignement supérieur, je ne l'avais jamais "rencontré", sauf ici http://www.bibmath.net/dico/index.php3? … celli.html

@+


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#37 20-12-2010 12:21:20

gprbx
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Re : Enigme : à l'intérieur d'un triangle équilatéral

Bonjour,
Pour epilog : On ne cherche pas un point de Fermat (minimum de la somme des distances aux sommets)
mais un point dont les distances aux sommets sont des ENTIERS. ( 97, 185, 208 conviennent dans le triangle équilatéral de coté 273)

Merci Yoshi, je n'avais pas pensé à cette touche ² que je n'utilise jamais
dorénavant j'écriai x² au lieu de x*x
et je redonne  la démonstration plus clairement :

Soit ABC un triangle équilatéral de coté t ENTIER
Soit M sur la hauteur issue de C et tel que AM = a et CM = c soient des ENTIERs
Posons :
t² - a² = R
t² + 2a² - c² = S
alors t, a, c vérifient l'invariant R² = c²S
(On trouve l'invariant en exprimant c fonction de a, puis en isolant les racines carrées en premier membre et en élevant au carré les 2 membres de l'équation. Il faut en l'occurrence le faire 2 fois)

il faut donc que S soit un carré S = k² avec k ENTIER
alors R = ck
on a donc les 2 équations :
2t² - 2a² = 2ck
t² + 2a² - c² = k² que l'on additionne :
3t² = (k+c)²  or 3 ne peut être le carré d'un entier C.Q.F.D.

Espérant être clair....

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#38 20-12-2010 13:21:44

Epilog
Invité

Re : Enigme : à l'intérieur d'un triangle équilatéral

Rebonjour,

Il n'y avait aucune mauvaise intention de ma part. C'est un jeune lycéen hors de France qui m'a envoyé hier soir, le lien vers votre site et l'énigme. Je croyais donc être sur un site en rapport avec leur âge. C'est ce même jeune homme qui vient de m'alerter par courriel.
J'ai écrit "seconde scientifique" entre guillemets afin que cette locution ne soit pas prise à la lettre. Vous savez certainement que ces sections existent dans d'autres pays.
Je me doute bien par ailleurs que le point de Fermat-Torricelli n'est pas au programme officiel des lycées. Mais l'on peut l'utiliser en exercices ou travaux dirigés. Je ne l'ai évoqué que dans un autre paragraphe, en dehors de la référence au niveau. et ma remarque ne concernait donc que les lecteurs avertis.
Cette mise au point étant faite, je vous présente mes sincères excuses. Je ne vous importunerai plus.
D'ailleurs, afin que vos correspondants ne perdent pas de temps à me lire, si vous en avez la possibilité, pourriez-vous s'il vous plaît, demander à votre Webmaster, de supprimer mes deux interventions?
Grand merci et encore mille regrets.                 Cl G alias Epilog

#39 20-12-2010 13:55:24

yoshi
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Re : Enigme : à l'intérieur d'un triangle équilatéral

Bonjour,

Il n'y avait aucune mauvaise intention de ma part. C'est un jeune lycéen hors de France qui m'a envoyé hier soir, le lien vers votre site et l'énigme. Je croyais donc être sur un site en rapport avec leur âge.

Fort bien.
Relisez-vous, cher invité et convenez qu'il y avait de quoi de se méprendre : ces choses-là eussent méritées d'être dites.
A tout le moins, auriez-vous pu jeter un œil sur l'ensemble du site et vous rendre compte que le site n'était pas fait par des Lycéens... Si vous aviez lu l'intervention du sieur Barbichu vous eussiez été édifié : le niveau de son intervention dépasse le niveau 2nde (et son niveau tout court en maths >= Bac+5)...
Bon, je me suis effectivement mépris (et ce n'aurait pas été la première fois que nous aurions eu à faire à quelqu'un ici nous mettant -de son point de vue- à l'épreuve et nous prenant de haut) de bonne foi...
Tel n'était pas le cas, dont acte...
Maintenant, cher fan de Maths, daignerez acceptez mes excuses pour ma méprise ?

Cela étant, moi modérateur, j'ai le pouvoir de faire disparaître vos deux interventions, mais pourquoi le ferais-je ? Elles apportent un éclairage bienvenu...
Au contraire, je vous invite, à gommer les points de suspension et à développer davantage votre procédé et je le programmerai ensuite en Python afin de vérifier la solution de Barbichu...

@+


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#40 21-12-2010 06:45:41

freddy
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Re : Enigme : à l'intérieur d'un triangle équilatéral

Epilog a écrit :

Chers Matheux, Bonjour.

Au sujet de l'énigme proposée, je vous suggère une analyse du problème. Comme j'ignore votre niveau, ce qui suit ne  dépassera pas la "Seconde scientifique" des lycées.
Supposant le problème résolu, soit P le point strictement intérieur au triangle équilatéral ABC de côtés 273 unités. Projetant P orthogonalement sur les trois côtés, nous obtenons six triangles rectangles d'hypoténuses PA, PB, PC entières. Le théorème de Pythagore, appliqué à chacun d'eux, nous donne six relations, deux en PA^2, deux en PB^2 et deux en  PC^2.
Les retranchant deux à deux judicieusement, nous constatons que PA^2-PB^2, PB^2-PC^2 et PA^2-PC^2 (supposant pour l'approche PA>PB>PC) sont des multiples de 273.
En outre, les encadrements habituels de PA+PB, ... et des différences nous  permettent de limiter nos recherches ; de même, le fait qu'une différence de deux carrés ne se termine jamais par 7. Une table des nombres premiers peut être utile aussi.
Le triplet (241, 227, 59) répond à la question.

Prolongement : Construisons un triangle de côtés respectifs 241, 227 et 59 unités, XYZ, ainsi que son point de Fermat-Torricelli F. Calculons la somme FX+FY+FZ. Le résultat n'étonnera pas les "géomètres".

Merci à tous de votre attention et bonnes récréations pour cette finn d'année.       Cl G alias Epilog

Bonjour Epilog,

je reprends le début de ton raisonnement et te pose une question.

En posant D = longueur du coté du triangle équilatéral, on définit x, y et z les distances de chaque projeté de P sur chacun des trois côtés, distance par rapport à chaque sommet du triangle (on prendra chaque fois un sommet distinct).

Après les premières manipulations issues de Pythagore,

on a : [tex]\begin{cases}PA^2-PB^2=D\times (D-2x) \\ PB^2-PC^2=D\times (D-2y) \\ PC^2-PA^2=D\times (D-2z)\end{cases}[/tex]

ce qui confirme que les écarts sont bien des multiples de 273.

On déduit en particulier [tex]3D=2(x+y+z)[/tex] par addition des trois équations.

Après, comment fais tu ?

Merci par avance de ta réponse, j'avoue ne pas bien voir.


Memento Mori ! ...

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#41 21-12-2010 08:59:43

yoshi
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Re : Enigme : à l'intérieur d'un triangle équilatéral

Bonjour,

Soit P un point à l'intérieur du triangle équilatéral ABC et H, k, L les pieds respectifs des perpendiculaires abaissées de P sur |AB], [AC] et [BC]...
Moyennant quoi, j'ai suivi les indications données et j'ai obtenu :

PA² - PB² = 273(AH - BH)
PB² - PC² = 273(BL - LC)
PC² - PA² = 273(KC - AK)
Multiples de 273, ok !

En additionnant membre à membre à membre je trouve :
273(AH - BH + BL - LC + KC - AK) = 0
Soit
AH - BH + BL - LC + KC - AK = 0
ou encore
AH + BL + CK = AK + BH + CL
Ce qui me paraît être trivial...

Sinon :

Inégalités triangulaires :
|AH - PH| <= PA <= AH + PH
|AK - PK| <= PA <= AK + PK
|BH - PH| <= PB <= BH + PH
|BL - PL| <= PB <= BL + PL
|CL - PL| <= PC <= CL + PL
|CK - PK| <= PC <= CK + PK

Et après ?
Voilà qui prouve à l'envi qu'Epilog s'était sacrément fichu le doigt dans l'œil (ouille !) en pensant que son intervention serait suffisante pour éclairer des lycéens : si nous, nous ne sommes guère plus avancés, alors des Lycéens...

Si notre ami Epilog ne revient pas, peut-être le Lycéen anonyme qui nous lit et a transmis les infos pourra-t-il retransmettre tout aussi diligemment notre appel à Epilog de venir nous offrir plus ample développement...

@+


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

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#42 21-12-2010 14:12:11

gprbx
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Re : Enigme : à l'intérieur d'un triangle équilatéral

Bonjour,

Epilog a écrit :

[...] et le fait qu'une différence de deux carrés ne se termine jamais par 7....

Il ne faudrait pas que les collégiens et lycéens trouvent et croient ce genre d'assertion.
Contre exemple "évident" : 11² - 8² = 121 – 64 = 57 !!

Epilog a écrit :
...Calculons la somme FX+FY+FZ. Le résultat n'étonnera pas les "géomètres".
Bon, la somme vaut 282.116806…avec les cotés 241, 227, 59 pour XYZ.
N'ayant pas été "étonné", je me demande si je suis dans la catégorie des "géomètres" ?….

Merci à yoshi pour son initiation très simple à LaTex que j'ai réussi à imprimer sur une seule page A4.

Au plaisir de lire vos remarques,

gprbx

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#43 21-12-2010 15:22:10

freddy
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Re : Enigme : à l'intérieur d'un triangle équilatéral

Epilog a écrit :

Comme j'ignore votre niveau, ce qui suit ne  dépassera pas la "Seconde scientifique" des lycées.

Dans le préambule de chaque tome de l'oeuvre de N. Bourbaki, il est bien précisé qu'aucune connaissance préalable en mathématique n'est requise.

Il est ensuite précisé qu'il faut tout lire, y compris les passages signalés comme "accidentés" ... ainsi que les références aux tomes précédents de l'oeuvre disponible chez Hermann éditeur.

A bon entendeur, salut !


Memento Mori ! ...

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#44 21-12-2010 15:24:05

yoshi
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Re : Enigme : à l'intérieur d'un triangle équilatéral

Re,

Tiens, je n'avais pas relevé l'assertion fausse : je m'étais acharné sur des égalités/inégalités de longueur : bah, ce doit être un jugement hâtif, plutôt qu'une certitude fausse.
Probablement, en effet, faut-il plutôt lire :  lorsque cette différence de deux carrés est elle-même un carré, elle n'est jamais terminée par 7, parce qu'il parlait de Pythagore.
Un mot ou deux ont dû sauter : je ne lui jette pas la pierre, ça m'arrive aussi plus souvent qu'à mon tour !
On ne le saura que si le sieur Epilpog veut bien revenir causer avec nous...

grpbx a écrit :

Merci à yoshi pour son initiation très simple à LaTex

Faut bien reconnaître que la touche Alt Gr est sérieusement mise à contribution et que c'est ch... pénible, veux-je dire ;-)

Cette initiation à La Tex a été voulue simple, reflet de mes propres tribulations lorsque j'ai plongé dedans : j'ai aussi essayé de faire ressortir, par exemple, la logique de l'emploi des accolades, que ce soit pour :
- le nommage des angles,
- le nommages des vecteurs,
- l'écriture des puissances dont la longueur dépasse un caractère
- l'écriture des indices dont la longueur dépasse un caractère
- et donc l'écriture des intégrales, Sommations, produits et autres limites...

J'avais trouvé que mettre en évidence ce fil conducteur facilitait grandement le travail d'appropriation...
Et quel pied on prend, en contemplant une splendide écriture mathématique...

Si cette page t'a satisfait, tu m'en vois ravi, quoiqu'elle soit sûrement encore perfectible.

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#45 21-12-2010 16:07:36

freddy
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Re : Enigme : à l'intérieur d'un triangle équilatéral

Salut !

je suis tombé dans le même piège que yoshi et bien d'autres : rechercher implicitement les coordonnées entières d'un point dans le triangle telles que la distance de ce point à chacun des trois sommets soit entière;

La solution de Barbichu est lumineuse : chercher les rayons entiers de trois cercles, de centre respectif chacun des trois sommets, concourrant en un seul point, dont les coordonnées ne peuvent être entières.

Chapeau bas !

Dernière modification par freddy (21-12-2010 16:08:24)


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#46 21-12-2010 17:41:40

nerosson
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Re : Enigme : à l'intérieur d'un triangle équilatéral

Salut à tous,

Hé! Hé! Freddy : c'est la méthode du laboureur ! ! !

Tu pourrais aussi me tirer ton chapeau, afin que je sache enfin s'il y a une cervelle dessous !

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#47 21-12-2010 18:05:44

freddy
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Re : Enigme : à l'intérieur d'un triangle équilatéral

Salut nerosson,

ben oui, chapeau bas aussi à toi, célèbre laboureur !


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#48 21-12-2010 22:27:01

gprbx
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Re : Enigme : à l'intérieur d'un triangle équilatéral

Bonsoir,

yoshi a écrit:
Probablement, en effet, faut-il plutôt lire :  lorsque cette différence de deux carrés est elle-même un carré, elle n'est jamais terminée par 7, parce qu'il parlait de Pythagore.

dans ce cas epilog aurait dû aussi écrire : ni par 2, ni par 3, ni par 8

Je ne sais pas comment vous trouvez qu'un résultat est un Entier, mais Pour affirmer qu'on obtient un entier, il me semble qu'il faut un contrôle par un calcul qui n'utilise que des additions, soustractions et multiplications opérant sur des Entiers : ceux donnés au départ et ceux supposés Entiers par le calcul effectué en float.
Par exemple, si on calcule avec python IDLE 2.6.2     
>>> r=(7**0.5)**2-7
>>> r
on affiche r avec la valeur 8.8817841970012523e-16 au lieu de 0.0
Pourtant couramment on commence par extraire des racines carrées, on fait ensuite d'autres opérations dont des additions, soustractions, carrés etc...

Que l'imprécision des calculs ne vous empêche pas de programmer : Bonnes fêtes à tous

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#49 22-12-2010 08:45:05

freddy
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Re : Enigme : à l'intérieur d'un triangle équilatéral

Salut R2D2,

je comprends bien ta remarque, j'ai tout de même envie de dire qu'à 10^(-16) près, cela n'a pas empêché l'Homme de marcher sur la lune, ni de résoudre la conjecture de Fermat.

Tu vois ce que je veux dire ?

Bonne journée.

Dernière modification par freddy (22-12-2010 08:45:30)


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#50 22-12-2010 10:54:26

yoshi
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Re : Enigme : à l'intérieur d'un triangle équilatéral

Bonjour,


Problème plus ou moins insoluble...
On peut tenter une autre approche, par exemple

>>> from decimal import *
>>> getcontext().prec=25
>>> print (Decimal('7')**Decimal('0.5'))**Decimal('2')-7
1E-24
>>> print (Decimal('7').sqrt())**Decimal('2')
7.000000000000000000000001
>>> print Decimal('2')**Decimal('0.5')
1.414213562373095048801689

Précision largement suffisante, non ?
Source : http://docs.python.org/library/decimal.html

Sinon, je me suis résolu à dire qu'à partir d'un nombre inférieur ou égal à 10**(-15) par exemple, c'est 0...

Ou alors, quand avec un calcul de racine carrée, par ex, je dois tomber sur une racine entière, je prends la partie entière de la racine que j'élève au carré et je confronte le résultat avec le nombre de départ.

On peut, parfois, "ruser" et travailler avec des entiers au lieu des décimaux, c'est ce que je fais pour obtenir 20000 décimales exactes du nombre d'or en moins de 2.6 s. Voir ici : http://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=3907&p=2 message #32

A quand tes sources, dans le forum programmation ?

@+


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