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nissou

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polynomes par nissou svp aidez-moi

soit (E) x²+x+1=0 et A(x) = x²+x+1
1. Calculer A(-1/2)
Réponse:(-1/2)² -1/2 + 1=3/4

1.2Montrer que A(x) - A(-1/2) = x² + x + 1/4
réponse:x²+x+1- (3/4)=x²+x+1/4

1.3Déterminer la valeur de "a" cad "alpha" telle que x²+x+1/4 = (x+a)²
Réponse:x²+x+1/4 = x²+2xa+ a² (produit remarquable)
                   x+1/4 = 2xa + a²

voilà c là où je suis bloquée ... Je vois pas comment déterminer la valeur de "alpha"

  merci d'avance

Voici les questions qui suivent:
1.4 Déduire des questions précédentes que A(x) - A(-1/2) = x²+x+1/4 >ou=0 puis que A(x)> ou = A(-1/2) et enfin que A(x)>0

1.5 Résoudre alors l'équation (E)

Dernière modification par nissou (21-12-2005 19:41:34)

Michaël11

Invité

Re : polynomes par nissou svp aidez-moi

1.3 Si x + 1/4 = 2ax + a^2 (je ne sais pas mettre le 2 en exposant : a^2 signifie a au carré), cela revient à dire que x=2ax et 1/4=a^2 et finalement on trouve a=1/2.

1.4 Puisque A(x)-A/-1/2)=x^2+x+1/4=(x+1/2)^2 càd le carré d'un nombre, on est sûr que A(x)-A(-1/2) est plus grand que 0 si x est différent de -1/2 et égal à 0 si x=-1/2.
On l'écrit ainsi : A(x)-A(-1/2)>=0 ce qui est équivalent à A(x)>=A(-1/2). Et comme A(-1/2)=3/4>0 on trouve A(x)>=A(-1/2)=3/4>0 càd A(x)>0.

1.5 Puisque A(x)>0, l'équation (E) disant que A(x)=0 n'a pas de solutions réelles.

Michaël11

Invité

Re : polynomes par nissou svp aidez-moi

Pourquoi ça déconne toujours? Je réécris le début de 1.4 :
Puisque A(x)-A(-1/2)  = X^2+x+1/4 =  (x+1/2)^2 etc.
Voilà, y a intérêt que ça marche, mais je pense que tu as compris.

nissou

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Re : polynomes par nissou svp aidez-moi

Michaël merci bcp pr m'avoir aider. Mais je ne pense pa qu'il n y ai pas de solutions pour l'équation. je te passe un théorème qui est utile ds tous l'exercice sachant bien sûr qu'il y a plusieurs parties. Si ça peut t'aider
Théorème des valeurs intermédiaires(en abrégé TVI):
si on peut trouver deux valeurs x et y telles que A(x)>ou=0 et A(y)<ou=0 alors il existe une trosième valeur z telle que A(z)=0 (éventuellement z=x ou z=y)

Revenons à notre problème
celuis que ns avons traité ensemble est le cas particulier No 1. Il y a cependant 2 autres cas particuliers et un cas général
l'objet du devoir est l'étude et la détermination des solutions de l'équation(E) x²+bx+c=0                                                                                       
Cas particulier No2
Soit (E) x²+x+c=0 et A(x)=x²+x+c
l'équation de la qusetion précédente est un cas particulier de cette question.                                                                                                                 
1.1 Calculer A(-1/2)
Réponse:(-1/2)²-1/2+c = -1/4+c

1.2Calculer A(x) - A(-1/2) en fonction de x
réponse:(x²+x+c)-(-1/4+c) = x²+x+c+1/4 - c
                                           = x² + x + 1/4

1.3Démontrer que pr tte valeur de x on a A(x) - A(-1/2)>ou=0
On pourra utiliser les cas particulier 1
On a alors A(x)>ou= A(-1/2) =c -1/4
c là j'y arrive plus please help meeeeeeeeee
Voici les questions qui suivent:
1.4 Montrer que A(racine carré de c)>ou=0
1.5 Montrer que si c > 1/4 alors quelque soit x on a
A(x)>0 Résoudre alors l'équation (E)
1.6 Montrer que si c <ou=1/4 alors A(-1/2)<ou=0
1.7 Déduire de la question précédente et du TV1 que l'équation (E) admet au moins une solution.
le calcul des solutions n'est pas demandé

Michaël11

Invité

Re : polynomes par nissou svp aidez-moi

Je répète que l'équation x^2+x+1=0 n'a pas de solutions réelles : il suffit de remarquer que son déterminant est -3 et que la racine de -3 n'existe pas dans les réels. L'étude qui avait été faite l'autre jour avait montré que pour tout x,      A(x)>=3/4 : le TVI ne s'applique donc pas car A ne s'annule jamais, et c'est aussi pourquoi l'équation n'a pas de solutions réelles.

Pour tes nouvelles questions :

1.2 Tu montres que A(x)-A(-1/2)=x^2+x+1/4, c'est juste. On avait trouvé l'autre fois que x^2+x+1/4 = (x+1/2)^2=donc quelque chose au carré, càd toujours plus grand ou égal à 0.

1.3 en découle immédiatement : si A(x)-A(-1/2) = (x+1/2)^2 >=0 alors en ajoutant A(-1/2) des deux côtés on trouve A(x)>= A(-1/2) or on sait que A(-1/2) =c-1/4 donc finalement : A(x)>= A(-1/2) = c-1/4.

1.4 Quelles sont les conditions sur c ? Puisqu'on prend la racine de c, c'est qu'on a sûrement supposé que c>=0; alors racine(c) >=0. Et  A(racine(c)) = c +   racine(c) +c = 2c + racine(c) et trouve donc A(racine(c)) >= 0  puisque qu'on a dit que c et racine(c) >=0.

1.5 Sous 1.3 on a trouvé A(x) >= c-1/4. Si c>1/4 alors en ajoutant -1/4 des deux côtés de cette dernière inégalité on trouve c-1/4 > 0 et ainsi pour tout x on a : A(x) > 0. Et l'équation (E) n'a pas de solutions réelles, A(x) ne s'annule jamais. Ne doute pas, je t'assure que c'est juste.

1.6 Sous 1.1 on a trouvé A(-1/2) = c-1/4. Si c =< 1/4 alors en ajoutant -1/4 des deux côtés de cette dernière inégalité on trouve c-1/4 =< 0 et ainsi A(-1/2) =<0.

1.7 Sous 1.4 on a vu que, à condition d'avoir supposé c>=0, on avait
A(racine(c)) >=0. Sous 1.6 on a vu que, à condition de prendre c =< 1/4, on avait A(-1/2) =<0. On peut donc appliquer le théorème de la valeur intermédiaire sur l'intervalle [-1/2 ; racine(c)] qui affirme qu'il existe au moins un x dans cet intervalle tel que A(x) =0, càd que (E) a au moins une solution.

Pour résumer (E) n'a pas de solutions si c>1/4 et a au moins une solution si c=<1/4.

Voilà, n'oublie pas que demain c'est Noël : fais une petite pause dans tes devoirs de maths pour souper avec ta famille, si tu as la chance qu'elle se réunisse. Bonnes fêtes et bonne année.

nissou

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Re : polynomes par nissou svp aidez-moi

Merci bcp Michaël .bonnes fêtes et bonne année à toi aussi

nissou

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Re : polynomes par nissou svp aidez-moi

slt Michaël , j'espère que tu te régale en ce jour de Noël

nissou

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Re : polynomes par nissou svp aidez-moi

Mais maintenant j'ai besoin de ton aide
Cas particulier NO 3
Soit (E) x²+bx+1=0 et A(x)=x²+bx+1
1.1 Montrer que A(-b/2) = ( -b²/4) +1
1.2 Montrer que A(x)-A(-b/2)=(x+b/2)²
1.3 Montrer que A(x)-A(-b/2)>=0
1.4 Montrer que quelque soit x, A(x)>=A(-b/2)
Réponses:On sait que A(x)-A(-b/2)>=0, en rajoutant A(-b/2) des deux côtés de cette dernière inégalité on obtient A(x)>=A(-b/2). Donc on en conclue que pr tte valeur de x, A(x)>=A(-b2)

J'ai réussi à répondre à ces 4 questions mais maintenant je bloque pr les 3 qustions suivantes:
1.5Montrer que si 1 - b²/4 >0 alors (E) n'a pas de solutions
1.6Montrer que si 1 - b²/4 <=0 alors l'équation admet au moins une solution.
(On pourra commencer par montrer que A(-b)=1>0, et on utilisera le TVI
1.7 Pour quelles valeurs de b l'équation (E) admet-elle des solutions?

Dernière modification par nissou (25-12-2005 18:43:12)

Michaël11

Invité

Re : polynomes par nissou svp aidez-moi

Salut nissou, tu ne t'arrêtes donc jamais de bosser ? Ce n'est pas un reproche; tu as bien raison.

Voilà :

1.5 Si 1-b^2/4>0 alors d'après 1.4 et 1.1 on a A(x) >= A(-b/2) = 1-b^2/4 >0 càd A(x) > 0. Cela signifie que A(x) ne s'annule jamais et donc que (E) n'a pas de solutions réelles.

1.6 A(-b) = 1 >=0 c'est clair. D'autre part, d'après 1.1 A(-b/2) = 1-b^2/4 or on suppose maintenant que 1-b^2/4 =<0 donc A(-b/2) =<0. On peut appliquer le TVI qui affirme que pour au moins une valeur d comprise entre -b et -b/2 on a A(d) = 0 càd que (E) a au moins une solution.

1.7 (E) admet donc des solutions quand 1-b^2/4 =<0 càd quand 1=<b^2/4 càd quand b^2 >= 4 càd quand b >= 2 ou b =< -2 autrement dit quand b est dans l'ensemble suivant : ]-oo ; -2]U[2 ; +oo[.

Bon, je vais continuer à travailler mes propres maths maintenant. A bientôt peut-être.

nissou

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Re : polynomes par nissou svp aidez-moi

Slt Michaël désolé de te dérangé mais j'ai besoin de ton aide
Cas générale
Soit (E) x²+bx+c=0 et A(x)= x²+bx+c
1.1 Montrer que A(x)-A(-b/2)=(x+b/2)²
1.2 Montrer que A(-b/2)=c -b²/4
Je sais répondre à ces questions mais je ne comprends pas pourquoi on ns demande en premier de calculer 1.1 alors qu'il faut pouvoir faire 1.2 avant

1.3 En utilisant une métode identique à celle utilisée pr le cas particulier 3 montrer que :

- 1° si c -b²/4<=0 alors (E) admet au moins une solution. Il faudra néanmoins démontrer (ou admettre) que A(racine c) >=0 ou que A(- racine c)>=0. Cette condition correspond au A(x)>=0 du TVI

Réponse
Puisqu'on prend la racine de c, c'est qu'on a sûrement supposé que c>=0; alors
racine(c) >=0. Et  A(racine(c)) = c +   racine(c) +c = 2c + racine(c) et trouve donc A(racine(c)) >= 0  puisque qu'on a dit que c et racine(c) >=0 (ensuite il faut dire si c -b²/4<=0 alors (E) a au moins une solution)

2°- si c -b²/4 >0 alors l'équation n'admet aucune solution
Remarque : La condition  c -  b²/4<=0 est équivalent à 4c-b²>=0 (on multiplie par
(-1) donc on inverse le sens de l'inégalité)

1.4 Corollaire (je ne sais même pas ce que ça veut dire , je suis en seconde et toi?)
Démontrer que si c <=0 alors l'équation (E) admet au moins une solution

Remarque: Dan cette partie , il n'a jamais été question de calculer les solutions de l'équation. Nous avons uniquement travaillé sur l'existence de solutions.
La suite du problème sera l'occasion de démontrer qqes propriétés:nombre maximal de solutions,somme et produit des solutions...et enfin...calcul des solutions.
(je ne sais pas si je vais pvr réussir toute seule)

Dernière modification par nissou (27-12-2005 20:52:52)

Michaël11

Invité

Re : polynomes par nissou svp aidez-moi

Je ne vois plus très bien où on en est; il me semble que toutes les questions se mélangent.

Attention, tu as fait une erreur :
La condition c-b^2/4 > 0 est équivalente à b^2/4 - c < 0.
D'après 1.1 on a A(x) = A(-b/2) + (x+b/2)^2. Or (x+b/2)^2 >= 0 (car c'est un carré) et A(-b/2) = c-b^2/4 > 0 selon la supposition. On arrive donc finalement à A(x) > 0 càd que A(x) ne s'annule jamais et ainsi (E) ne peut pas avoir de solutions réelles.

1.4 On vient de voir que si c-b^2/4>0 càd si c>b^2/4>=0 alors (E) n'a pas de solutions. Par contraposée on trouve que (E) admet au moins une solution si c=<0.

Je ne sais pas si c'est ce que tu voulais, mais enfin voilà.

nissou

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Re : polynomes par nissou svp aidez-moi

c normal que tu ne comprenne pas je me suis trompé ds l'énoncé .Relis la ça sera plus clair en tout cas je l'espère

La condition c -b²/4<=0 est équivalente à 4c - b² n'est pas fausse puisque c'est ce qui est écrit sur la feuille (c pas moi qui le dit cmon prof)
(et au fait tu ma pas dit dans quelle classe tu est)

Dernière modification par nissou (27-12-2005 20:58:11)

Michaël11

Invité

Re : polynomes par nissou svp aidez-moi

Alors il faut recopier correctement ce qui est écrit sur ta feuille : en multipliant l'inéquation par -4 des deux côtés et en changeant le sens de l'inégalité ça donne :
c-b^2/4=<0 équivalent à b^2-4c>=0.

J'habite et je travaille en Suisse. Comme les universités suisses ne font malheureusement pas de télé-enseignement, j'ai dû m'inscrire au CTU de Besançon et je suis actuellement en première année de master (anciennement appelée année de maîtrise); je ne vais à Besançon que lors des sessions d'examens, en janvier et en mai.

nissou

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Re : polynomes par nissou svp aidez-moi

oui merci mais je te rapelle que les questions du cas général sont:
Soit (E) x²+bx+c=0 et A(x)= x²+bx+c
1.1 Montrer que A(x)-A(-b/2)=(x+b/2)²
1.2 Montrer que A(-b/2)=c -b²/4
1.3 En utilisant une métode identique à celle utilisée pr le cas particulier 3 montrer que :

- 1° si c -b²/4<=0 alors (E) admet au moins une solution. Il faudra néanmoins démontrer (ou admettre) que A(racine c) >=0 ou que A(- racine c)>=0. Cette condition correspond au A(x)>=0 du TVI

- 2° si c -b²/4 >0 alors l'équation n'admet aucune solution

1.4 Corollaire (je ne sais même pas ce que ça veut dire , je suis en seconde et toi?)
Démontrer que si c <=0 alors l'équation (E) admet au moins une solution

Merci d'avance et je sais que tu dois avoir bcp de travail alors désolé de te dérangé

Dernière modification par nissou (01-01-2006 20:48:59)

Michaël11

Invité

Re : polynomes par nissou svp aidez-moi

1.1 A(x) - A(-b/2) = x^2+bx+c-(c-b^2/4) = x^2+bx+b^2/4 = (x+b/2)^2.

1.2 facile

1.3 1° On considère ici que c>=0, sinon prendre sa racine n'aurait aucun sens. Voir 1.4 pour le cas où c=<0. A(racine(c)) = 2c+bracine(c) : si b>=0 pas de problème on a alors bien que A(racine(c)) >=0; mais si b<0 il suffit de prendre A(-racine(c)) qui est égal à 2c-bracine(c) et on est sûr que A(-racine(c)) >=0. Donc quel que soit b on est sûr qu'il existe un x tel que A(x) >=0 et ce x peut être en autres + ou -racine(c).
De plus on a supposé c-b^2/4=<0 or A(-b/2) = c-b^2/4 donc A(-b/2) =<0. On peut alors appliquer le TVI entre -b/2 et +ou-racine(c).

2° D'après 1.1, en ajoutant A(-b/2) des deux côtés on a A(x) = A(-b/2) + (x+b/2)^2. On sait que (x+b/2)^2 >=0 car c'est un carré; si on suppose de plus que c-b^2/4=A(-b/2) >0 alors évidemment A(x) >0 càd A(x) ne s'annule jamais et donc (E) n'a pas de solutions réelles.

1.4 Un corollaire est un théorème qui découle immédiatement d'un autre théorème. Dans notre cas, ça doit vouloir dire que ce qui est demandé découle des questions précédentes.
D'abord on est d'accord pour dire que -b^2/4=<0. Maintenant on suppose que c=<0; ajoutons -b^2/4 des deux côtés et on a finalement c-b^2/4=<-b^2/4=<0.
Ceci nous ramène donc à 1.3 1° où on a conclu que (E) a au moins une solution.

Mais il y a une précision à apporter : la racine d'un nombre négatif n'existe pas dans les réels. Il faut donc prendre dans ce cas la racine de -c car si c=<0 alors -c>=0 et on a A(racine(-c)) = -c +bracine(-c) +c=bracine(-c) et comme plus haut, tout dépend du signe de b : si b>=0 pas de problème, si b<0 alors prendre A(-racine(-c)), de sorte qu'on est sûr qu'il y a un x tel que A(x) >=0 ce qui pouvant être entre autres +ou-racine(-c).

Voilà, je vais aller regarder Mon voisin le tueur sur la une, ça me détendra.

nissou

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Re : polynomes par nissou svp aidez-moi

Est-ce qu'on porrai pas plutot faire comme ceci puisqu'on nous dit d'utiliser une méthode identique à celle utilisée dans le cas particulier NO 3:

1.3 1° Puisqu'on prend la racine de c, c'est qu'on a surement supposé que c est supérieur ou égal à zéro alors la racine de c est >=0 et A(racine(c)) c'est égal à c + bracine(c) ce qui vaut à 2c + bracine(c).  On trouve donc A(racine(c))>=0 puisqu'on a dit que c et racine(c) sont >=0

Sachant que A(-b)=c>= 0.D'autre part 1.2  A(-b/2)=c or on suppose maintenant que c- b²/4 <=0 donc A(-b/2)<=0. On peut  don appliquer le TVI qui affirme que pour au moins une valeur  v comprise entre -b et -b/2 on a A(v)=0 càd que (E) a au moins une solution

2° Si c-b²/4 >0 alors d'après 1.1 et 1.2, on a A(x)>= A(-b/2)=c-b²/4 >0 càd que
A(x)>0 .Cela signifie que A(x) ne s'annule jamais et donc (E) n'a pas de solutions

nissou

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Re : polynomes par nissou svp aidez-moi

Voici la seconde partie du devoir où je n'y comprends rien et j'ai donc besoin de ton aide
2.1 Somme des solutions
2.1.1 Expliquer pourquoi on a:
                         a²+a *b+c=0 (alpha² + alpha foix b+c=0)
                        "bt²"+bt *b+c=0 (beta²+beta foix b+c=0)

2.1.2 Montrer les égalités suivantes (dans l'ordre)
   
                       a²+ab+c-(bt²+bt*b+c)=0
                       a²+ab+c-(bt²+bt*b+c)=a²-bt²+ab-bt*b
                       a²+ab+c-(bt²+bt*b+c)=(a-bt)(a+bt+b)

2.1.3 Démontrer que a+bt+b=0; On commencera par montrer que a-bt est différent de 0
2.1.4 Déduire que a+bt=-b
2.1.5 Traduire par une phrase en français le résultat précédent

Dernière modification par nissou (08-01-2006 20:08:57)

Michaël11

Invité

Re : polynomes par nissou svp aidez-moi

Pour ton premier message : 2c+b*racine(c) n'est pas obligatoirement plus grand ou égal à 0; si c>=0 alors 2c et racine(c) sont >=0 mais il y a encore le b qui peut tout changer et on ne sait pas si b est positif, négatif ou nul. C'est pourquoi il faut faire comme je l'ai indiqué la dernière fois.

Pour le deuxième :
Je pense que ce que tu appelles a alpha et bt beta sont les deux solutions de l'équation x^2+bx+c=0.
2.1.1 Il est alors naturel et évident que si tu remplaces x par a ou par bt tu trouves 0.

2.1.2 On sait que a^2+ab+c=0 et que bt^2+bt*b+c=0 alors â^2+ab+c- (bt^2+bt"b+c) = 0-0=0 voilà pour la première égalité.
Pour la deuxième il suffit d'enlever la parenthèse en changeant le signe de tous les machins qui étaient dedans et de mettre ensuite les termes dans l'ordre demandé (on peut puisque l'addition est commutative).
Pour la troisième il suffit d'effectuer (a-bt)(a+bt+b) et de remarquer que c'est égal au membre de droite de la deuxième égalité.

2.1.3 D'après les égalités de 2.1.2 on a 0= a^2+ab+c- (bt^2+bt*b+c) = (a-bt)(a+bt+b) ça veut dire que soit a-bt=0 soit a+bt+b=0. Si on arrive à montrer que a-bt est différent de 0 on aura alors obligatoirement a+bt+b=0.
Alors avec les seules indications qu'on a, on ne peut rien faire. Si vous avez supposé que b^2/4-c>0 ou que A(x) a exactement deux solutions ou je ne sais quoi d'autre alors oui, cela signifie que a est différent de bt et donc que a-bt est différent de 0.

2.1.4 Comme dit plus haut, c'est donc a+bt+b=0 et en ajoutant -b de chaque côté on trouve a+bt=-b.

2.1.5 La somme des solutions de (E) est égale à -b.