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#1 10-05-2008 18:03:33

tibo
Membre expert
Inscription : 23-01-2008
Messages : 1 097

convergence simple et convergence uniforme[Résolu]

Bonjour,

Je n'arrive pas à saisir la différence entre convergence simple et convergence uniforme

Plus précisément, pour mon problème, lorqu'une suite de fonctions (polynomiales) approche une fonction continue en convergence simple ou en convergence uniforme. (cf. Théorème d'approximation de weierstrass)

voila les définitions (ça aurait été plus pratique si je savais écrire les symboles):
convergence simple: qqsoit £>0, qqsoit x, il existe N appartient à N tel que qqsoit n>N, |fn(x)-f(x)|<£
convergence uniforme: qqsoit £>0, il existe N appartient à N tel que qqsoit n>N, qqsoit x, |fn(x)-f(x)|<£

la différence est subtile  mais très importante.

Merci d'avance


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#2 10-05-2008 18:22:57

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 16 947

Re : convergence simple et convergence uniforme[Résolu]

Bonsoir,

Je ne peux pas t'aider sur le fond même si je crois relever quelques incohérences d'écriture, exemple : ...N  appartient à N tel que qqsoit n > N
C'est quoi grand N qui appartient à lui-même ? D'où arrive ensuite ce petit n ?
Mais sur la forme oui.
Ainsi je traduis bêtement:
qqsoit £>0, qqsoit x, il existe N appartient à N tel que qqsoit n>N, |fn(x)-f(x)|<£
peut s'écrire :
\forall \epsilon > 0,\forall x,\exists N, \in \mathbb{N} / n >N, |f_n(x)-f(x)|<\epsilon.

Ce qui donne si tu encadres ceette ligne entre les deux tags [ tex] et [ /tex] (il faut enlever les espaces dans les crochets) :
[tex]\forall \epsilon > 0,\forall x,\exists N \in \mathbb{N} / n >N, |f_n(x)-f(x)|<\epsilon[/tex]

Et tu peux intercaler des espaces dans ta ligne en ajoutant le symbole double \, :
[tex]\forall \epsilon > 0,\,\forall x,\,\exists N \in \mathbb{N} \,/ n >N,\, |f_n(x)-f(x)|<\epsilon[/tex]

Pour toute info, consulter  http://fr.wikipedia.org/wiki/Aide:Formules_TeX

Ca te va (en attendant réponse sur le fond) ?

@+


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#3 10-05-2008 18:29:27

tibo
Membre expert
Inscription : 23-01-2008
Messages : 1 097

Re : convergence simple et convergence uniforme[Résolu]

quand je dis N appartient à N
je voulais dire N entier naturel

en fait on peut traduire [tex]\exists N \in \mathbb{N} / n >N [/tex] par "il existe un rang à partir duquel"

Dernière modification par tibo95640 (10-05-2008 18:30:02)


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#4 10-05-2008 18:49:58

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 16 947

Re : convergence simple et convergence uniforme[Résolu]

Salut,

J'avais fini par piger que c'était la seule explication...
Bon, bienvenue dans le cercle (trop) restreint des utilisateurs de Latex sur ce Forum...

Tu t'en es sorti comme un chef ! ;-)

@+


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#5 10-05-2008 18:53:15

tibo
Membre expert
Inscription : 23-01-2008
Messages : 1 097

Re : convergence simple et convergence uniforme[Résolu]

merci pour ton aide mais je ne suis pas plus avancé dans mon problème


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#6 10-05-2008 18:57:30

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 16 947

Re : convergence simple et convergence uniforme[Résolu]


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#7 11-05-2008 10:13:51

john
Membre actif
Inscription : 10-02-2007
Messages : 543

Re : convergence simple et convergence uniforme[Résolu]

Hello,

Sans doute trop tard pour tibo, mais voici pour les autres, ce que je crois avoir compris...

Convergence simple
-----------------------
Qqsoit £>0, qqsoit x, il existe N € lN tel que qqsoit n>N, |fn(x)-f(x)|<£
= On peut trouver N(£, x) [donc fonction de £ et de x], tel que...

Convergence uniforme
--------------------------
Qqsoit £>0, il existe N € lN tel que qqsoit n>N, qqsoit x, |fn(x)-f(x)|<£
= On peut trouver N(£) [donc fonction de £ SEUL], tel que...

A+

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#8 11-05-2008 13:44:26

tibo
Membre expert
Inscription : 23-01-2008
Messages : 1 097

Re : convergence simple et convergence uniforme[Résolu]

Bonjour,

Oui, ça j'ai compris

En essayant de traduire en français, ça donne:

£ réprésente l'écart maximum que l'on veut donner entre entre fn et f

La convergence simple donne la propriété:
on choisit un x
et il existe un rang à partir duquel l'écart entre fn(x) et f(x) soit inférieur à £
et ce rang peut être différent selon le x que l'on a choisit au départ

Alors que la convergence uniforme:
on doit "trouver" un rang pour que l'écart entre fn(x) et f(x) soit inférieur à £ quelque soit le x que l'on "choisit" APRES

La convergence uniforme donne donc une propriété beaucoup plus forte.

Ce que je n'arrive pas, c'est à visualiser la différence.
Le lien de Yoshi explique très bien, mais la visualisation m'est encore un peu floue.
(Le fait d'avoir essayer de traduire en français vient de beaucoup m'aider)


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#9 13-05-2008 23:19:11

tibo
Membre expert
Inscription : 23-01-2008
Messages : 1 097

Re : convergence simple et convergence uniforme[Résolu]

Bonsoir

J'ai eu quelques précisions de mon prof aujourd'hui(enfin hier vu l'heure à laquelle j'écris),

Si fn converge uniformément vers f, alors graphiquement on peut imaginer un "tube" de largeur 2£ autour de f et fn à l'interieur de ce tube.

La convergence simple ne permet pas cela.

Par exemple, la suite [tex]f_n(x)=(x^n)_{n\in \N}[/tex] pour [tex]x\in[0,1][/tex] converge simplement vers la fonction [tex]f(x)=0 [/tex]pour [tex]x\in[0,1[ et f(x)=1 [/tex] pour x=1 En faisant la figure, on voit facilement que si £<1, une partie de [tex]f_n[/tex] sera en dehors du "tube" de largeur £ entourant f.



(Un shéma vaut mieux qu'une longue explication,... mais je ne sais pas encore mettre de shema.
Je viens d'apprendre le LaTeX... chaque choses en son temps, d'ailleur quand on ne connait pas les commandes, c'est énervant de devoir tout le temps aller les chercher)

Dernière modification par tibo95640 (17-05-2008 14:26:25)


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