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#1 07-12-2005 17:40:48

Nina
Invité

[Résolu] ex CONGRUENCES termS->merci d'avance

BONJOUR, JE BLOQUE SUR UN EXERCICE D'ARITHMETIQUE (CONGRUENCES)...EST-CE QUE QUELQU'UN POURRAIT M'AIDER OU ME DONNER DES IDEES? MERCI D'AVANCE

On appelle (E) l’ensemble des entiers naturels qui peuvent s’écrire sous la forme 9 + a2 où a est un entier naturel non nul ;
par exemple 10 = 9 + 12 ; 13 = 9 + 22 etc…
On se propose dans cet exercice d’étudier l’existence d’éléments de (E) qui sont des puissances de 2, 3 ou 5.
1) Étude de l’équation d’inconnue a : a2 + 9 = 2n où a ∈ ℕ , n ∈ ℕ , n ≥ 4.
a. Montrer que si a existe, a est impair.
b. En raisonnant modulo 4, montrer que l’équation proposée n’a pas de solution.
2) Étude de l’équation d’inconnue a : a2 + 9 = 3n où a ∈ ℕ , n ∈ ℕ , n ≥ 3.
a. Montrer que si n ≥ 3, 3n est congru à 1 ou à 3 modulo 4.
b. Montrer que si a existe, il est pair et en déduire que nécessairement n est pair.
c. On pose n = 2p où p est un entier naturel, p ≥ 2. Déduire d’une factorisation de 3n – a2, que l’équation proposée
n’a pas de solution.
3) Étude de l’équation d’inconnue a : a2 + 9 = 5n où a ∈ ℕ , n ∈ ℕ , n ≥ 2.
a. En raisonnant modulo 3, montrer que l’équation est impossible si n est impair.
b. On pose n = 2p, en s’inspirant de 2)c. démonter qu’il existe un unique entier naturel a tel que a2 + 9 soit une
puissance entière de 5.

#2 08-12-2005 12:08:50

J2L2
Invité

Re : [Résolu] ex CONGRUENCES termS->merci d'avance

Bonjour Nina, ne pose pas 36 questions à la fois : concentre toi sur une question que tu as cherchée et que tu ne trouves pas !

#3 08-12-2005 14:56:39

J2L2
Invité

Re : [Résolu] ex CONGRUENCES termS->merci d'avance

... et puis, attention à ce que tu écris !

10 = 9 + 12   ??   13 = 9 + 22  ??

9 + a2  ---> tu veux dire 9+a^2  ?? (9+ a "au carré")

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