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#1 06-12-2007 16:59:33

ccarole
Membre
Inscription : 06-12-2007
Messages : 4

topologie de la convergence uniforme sur les compacts. [Résolu]

Bonjour.
S'il vous plaît aidez moi à définir correctement les ouverts de l'espace suivant!:
Soit $C_k(X)$ l'espace des fonctions réelles continues de $X$ dans $R$, muni de la topologie de la convergence uniforme sur les compacts de $X$.
Merci d'avance.

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#2 06-12-2007 18:22:18

john
Membre actif
Inscription : 10-02-2007
Messages : 543

Re : topologie de la convergence uniforme sur les compacts. [Résolu]

Hello ccarole et bienvenue à bord de la BM,

Je débute depuis longtemps déjà dans ce domaine, mais si je transpose ce que j'ai appris en intro de topo. voilà ce que j'obtiens :

On est dans un espace de fonctions réelles continues (les points de l'espace). Le centre de la boule (un point) est donc une fonction f de cet espace.

Une distance a été définie dans R entre 2 fonctions (par exemple le sup sur x€X de |f(x) - g(x)|).

Le rayon de la boule ouverte est évidemment une distance donnée r.

La boule ouverte de centre f et de rayon r est donc l'ensemble des fonctions g de C_k(X) dont la distance à f est inférieure à r.
Si tu patientes un peu, Fred va passer par là pour corriger tout ceci.
A+

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#3 06-12-2007 19:48:01

ccarole
Membre
Inscription : 06-12-2007
Messages : 4

Re : topologie de la convergence uniforme sur les compacts. [Résolu]

Merci John.
Sur l'espace $C_k(X)$ on peut définir plusieurs topologies, la topologie que tu viens de citer est la topologie de la convergence uniforme, où le sup est pris sur l'espace$X$ tout entier.
Mais ma topologie est celle de la convergence uniforme sur les compacts de $X$, est-ce que le sup doit être prix sur tout compact $K$ de $X$ ou un compact arbitraire  suffira?
A plus.

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#4 06-12-2007 20:27:34

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : topologie de la convergence uniforme sur les compacts. [Résolu]

Salut CCarole,

  Il faut considérer tous les compacts de X. Une base d'ouverts de C_k(X) est donnée par les ouverts
U(f,eps,K)=\{g; pour tout x de K, |f(x)-g(x)|<eps}, où f décrit C_k(X), eps est dans (0,+oo) et K est un compact arbitraire de X.

A+
Fred.

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#5 07-12-2007 21:25:32

carole
Membre
Inscription : 07-12-2007
Messages : 3

Re : topologie de la convergence uniforme sur les compacts. [Résolu]

Merci bien Fred.

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