Forum de mathématiques - Bibm@th.net

bridgslam

Membre

Lieu : Rospez

Inscription : 22-11-2011

Messages : 1 302

Un unique sujet, de multiples facettes

Bonjour,

Replongeant depuis quelques jours dans la théorie des groupes, je mentionne le sujet suivant parce-qu'il est susceptible de diverses approches, peut-être en trouverez-vous d'autres:

Soit (G,.) un groupe fini d'ordre n tel que tous ses éléments sauf e soit d'ordre 2. Alors l'ordre de G est une puissance de 2.

(il est clair que G est abélien, c'est un classique ). On note G multiplicativement quand-même.

Avec le théorème de Cauchy c'est immédiat : si p premier divise |G|, il existe un élément d'ordre p.

Par récurrence forte sur n, en considérant un quotient G/<x> ( qui vérifie la même propriété ), c'est rapide aussi.

En considérant G espace vectoriel sur le corps Z/2Z , G est forcément de dimension finie d, et son cardinal est donc [tex]2^d[/tex].

Un point de vue plus interne, mais sensiblement identique, étant donné un système générateur minimum [tex]\{ x_1, ..., x_r \} [/tex]
tout g dans G s'écrit de manière unique [tex]\prod_{ 1 \leq \epsilon_i  \leq r }( x_i ^{\epsilon_i}  ),  \epsilon_i \in \{ 0,1 \} [/tex] ( à l'ordre près des facteurs).

Alain

Dernière modification par bridgslam (17-05-2021 18:19:19)

---

"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac
"Travailler sur un groupe haddock, ou être heureux comme un poisson dans l'eau..."

bridgslam

Membre

Lieu : Rospez

Inscription : 22-11-2011

Messages : 1 302

Re : Un unique sujet, de multiples facettes

A noter pour s'amuser qu' exhiber un groupe infini, dont tous les éléments sont d'ordre 2 ( sauf e) n'est pas bien compliqué.

[tex]\prod_{n \in \mathbb{N} } \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} [/tex] par exemple ( muni de l'addition produit ).

Alain

---

"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac
"Travailler sur un groupe haddock, ou être heureux comme un poisson dans l'eau..."

bridgslam

Membre

Lieu : Rospez

Inscription : 22-11-2011

Messages : 1 302

Re : Un unique sujet, de multiples facettes

Alors l'apothéose est que |G| = [tex]\aleph_1 = 2^{\aleph_0} [/tex].

Cela enfonce le clou, en somme.

Alain

Dernière modification par bridgslam (18-05-2021 08:00:33)

---

"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac
"Travailler sur un groupe haddock, ou être heureux comme un poisson dans l'eau..."

bridgslam

Membre

Lieu : Rospez

Inscription : 22-11-2011

Messages : 1 302

Re : Un unique sujet, de multiples facettes

Bonjour,

Pour la question initiale, on peut aussi avoir une approche de maximalité. On suppose G distinct de {e} ( d'ordre n>1 ) .

L'ensemble [tex]\mathscr{G}[/tex] des sous-groupes de G d'ordre une puissance de 2 n'est pas vide( <x> est dedans).
Soit H un élément de [tex]\mathscr{G}[/tex] d'ordre maximum égal à m.
Si m < n , il existe y dans G non dans H, or [tex]yH \cup H[/tex] est dans [tex]\mathscr{G}[/tex] , d'ordre 2m > m. Contradiction.

Ainsi m = n , [tex]H = G \in \mathscr{G}[/tex].

Une autre façon de voir les choses.

Alain

Dernière modification par bridgslam (18-05-2021 14:07:33)

---

"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac
"Travailler sur un groupe haddock, ou être heureux comme un poisson dans l'eau..."