Bibm@th

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bienvenue dans les forums du site BibM@th, des forums où on dit Bonjour (Bonsoir), Merci, S'il vous plaît...

Vous n'êtes pas identifié(e).

#1 14-05-2021 22:16:24

moise0738
Membre
Inscription : 26-01-2020
Messages : 69

topologie générale

Bonjour...
J'aimerais monter que la topologie associé à la distance discrète est discrète mais je sais pas par quoi commencer...
Merci

Hors ligne

#2 15-05-2021 11:07:33

bridgslam
Membre
Lieu : Rospez
Inscription : 22-11-2011
Messages : 1 299

Re : topologie générale

Bonjour,

Simplement prendre les définitions.
Comment la topologie (  les ouverts , mais on peut raisonner aussi avec les voisinages ) associée à une distance est-elle définie ?

Soit X un ensemble. Sa topologie discrète est celle pour laquelle les ouverts sont toutes les parties de X ( en particuliers tous les singletons , ce qui suffit d'ailleurs).

Si d est la distance discrète la distance entre deux points est 1 s'ils sont distincts, 0 sinon.
En particulier que peux-tu dire , si x est dans X , de la partie [tex]B = \{ y \in X, d ( x , y ) < 1 \}[/tex] ?

Cela devrait t'aider à prouver ce que tu souhaites.

Alain


"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac
"Travailler sur un groupe haddock, ou être heureux comme un poisson dans l'eau..."

Hors ligne

#3 15-05-2021 19:58:46

moise0738
Membre
Inscription : 26-01-2020
Messages : 69

Re : topologie générale

merci

Hors ligne

#4 16-05-2021 09:59:43

bridgslam
Membre
Lieu : Rospez
Inscription : 22-11-2011
Messages : 1 299

Re : topologie générale

Ainsi [tex]\forall x \in X  \; B = \{x \} [/tex] est un ouvert ( car boule ouverte ) , pour la topologie déduite de la distance d discrète.
Cette topologie contenant donc tous ses singletons (en plus de [tex]\emptyset[/tex] ) , elle contient par réunions toutes les parties de X, donc est la topologie discrète.


"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac
"Travailler sur un groupe haddock, ou être heureux comme un poisson dans l'eau..."

Hors ligne

#5 16-05-2021 10:38:12

bridgslam
Membre
Lieu : Rospez
Inscription : 22-11-2011
Messages : 1 299

Re : topologie générale

Si on préfère les voisinages, il faut montrer que pour tout x de X, W (x) ensemble des voisinages de x  pour la distance d est identique à V(x) ensemble des voisinages de x pour la topologie discrète.
Or si w est dans W(x) , w contient {x,} et tout {x} étant un ouvert pour la topologie discrète,  w est dans V(x).
Si v est dans V(x) , il contient {x} donc la boule ouverte B = {x} , donc un ouvert  de la topologie associée à d. v est donc dans W(x).

Ainsi, V(x) = W(x) . Ceci étant vrai pour tout x, les topologies sont identiques, les définitions par les voisinages étant caractéristiques des topologies.


"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac
"Travailler sur un groupe haddock, ou être heureux comme un poisson dans l'eau..."

Hors ligne

Réponse rapide

Veuillez composer votre message et l'envoyer
Nom (obligatoire)

E-mail (obligatoire)

Message (obligatoire)

Programme anti-spam : Afin de lutter contre le spam, nous vous demandons de bien vouloir répondre à la question suivante. Après inscription sur le site, vous n'aurez plus à répondre à ces questions.

Quel est le résultat de l'opération suivante (donner le résultat en chiffres)?
cinquante six moins un
Système anti-bot

Faites glisser le curseur de gauche à droite pour activer le bouton de confirmation.

Attention : Vous devez activer Javascript dans votre navigateur pour utiliser le système anti-bot.

Pied de page des forums